Démo par l'absurde?

[snoopye68]

Bonjour, je dois faire cette démonstration.
Si une fonction f définie et croissante sur un intervalle I=[A;+inf[ admet une limite finie l lorsque x tend vers +inf, alors pour tout x de I, f(x)<=l

J'ai tenté par l'absurde...
Soit un certain x appartenant à I tel que f(x)>=l mais après je bloque...suis-je sur le bon chemin? :triste:

[jlq]

Bonjour, je dois faire cette démonstration.
Si une fonction f définie et croissante sur un intervalle I=[A;+inf[ admet une limite finie l lorsque x tend vers +inf, alors pour tout x de I, f(x)=l mais après je bloque...suis-je sur le bon chemin? :triste:

Le raisonnement par l'absurde me semble convenir.

[snoopye68]

oui mais je ne sais pas comment continuer... :mur:
je bloque...

[chombier]

oui mais je ne sais pas comment continuer... :mur:
je bloque...

Quelle définition as-tu de la limite finie l d'une fonction en +infini ?

Commence-t-elle par :
- quel que soit epsilon>0...
- tout intervalle ouvert contenant l...
- tout intervalle ouvert centré en l...

Il existe plusieurs définitions équivalentes, (cela se démontre) mais pour faire ta démonstration, tu dois te fixer sur une : celle de ton cours.

[Tiruxa]

Il faut déjà bien connaître la définition de la limite finie quand x tend vers +infini.

Comment vous l'a t on donnée ?

Je te conseille d'appeler par exemple x0 la valeur de x telle que f(x0) > L
tu peux aussi noter L0 cette valeur.

On a donc f(x0) = L0 avec L0 > L
Soit x un réel tel que x > x0 que peut on dire de f(x) ?

[snoopye68]

Soit x appartenant à I tel que x>xO
donc comme f est croissante f(x)>f(xO)
càd on a f(x)>Lo ....ce qui mène à une contradiction...c'est ça?
Ca me parait bancal ce que je fais... :hum:

[snoopye68]

est-ce que cela tient la route?

Soit un xo appartenant à I tel que f(xo)=Lo avec Lo>L
Soit x1 appartenant à I avec x1>xo et tel que f(x1)<= L
Comme x1>x0, par la croissance de f, on obtient:
f(x1)>=f(xO)
càd L>=Lo contradiction avec l'hypothèse de départ

Ca colle? :hum:

[chombier]

est-ce que cela tient la route?

Soit un xo appartenant à I tel que f(xo)=Lo avec Lo>L
Soit x1 appartenant à I avec x1>xo et tel que f(x1)x0, par la croissance de f, on obtient:
f(x1)>=f(xO)
càd L>=Lo contradiction avec l'hypothèse de départ

Ca colle? :hum:

Pour la première ligne, voici une rédaction plus propre :
"On suppose qu'il existe x0 appartenant à I tel que f(x0)>l"

Pour la deuxième ligne, tu es dans les choux : rien ne prouve a priori qu'il existe un x1>x0 tel que f(x1)x0,
l x0,

l-epsilon < l < l+epsilon < f(x0) <= f(x1)

Et démontrer ensuite que tu arrives à une contradiction avec "lim f en +infini = l" qui te dit que tout intervalle ouvert contenant l contiens toutes les valeurs de x à partir d'un certain rang

[snoopye68]

je reste coincée à ça :
Ce que tu peux dire, en revanche, comme la fonction est croissante, c'est que pour tout x1>x0,
l < f(x0) <= f(x1)

pourquoi at-on : l < f(x0) <= f(x1) ?
Pour moi si x1>x0 et que f est croissante on a f(x1)>f(xO) donc que f(x1)>l mais je vois pas d'où sors le : l < f(x0)

[chombier]

[quote="snoopye68"]je reste coincée à ça :
Ce que tu peux dire, en revanche, comme la fonction est croissante, c'est que pour tout x1>x0,
l x0 et que f est croissante on a f(x1)>f(xO) donc que f(x1)>l mais je vois pas d'où sors le : l l"

[snoopye68]

ah oui ok..mais ça suffit pas pour montrer la contradiction alors?

[chombier]

ah oui ok..mais ça suffit pas pour montrer la contradiction alors?

Ben non, je te laisse un peu de boulot quand même

[Tiruxa]

Si tu as du mal à conclure c'est que tu as mal assimilé la définition.
On t'avait demandé de la citer, cela permettrait de mieux t'aider.

[snoopye68]

J'ai la définition avec l'epsilon dans le cours (je ne sais pas comment l'écrire avec la syntaxe sur le forum).
Mais ça ne m'aide pas pour autant, pourtant j'ai cherché longuement à m'en faire des noeuds au cerveau.
Bon tant pis, je crois que je passe à autre chose... :mur:

[Tiruxa]

Cette définition n'est pas facile à assimiler du premier coup.
Si tu veux cela signifie que quel que soit l'intervalle de centre l, aussi petit soit il, on peut toujours trouver un nombre suffisamment grand pour qu'à partir de ce nombre toutes les images soient contenues dans le petit intervalle.

Donc en formalisant, pour tout réel epsilon strictement positif, (ceci c'est le choix de l'intervalle de centre l : ]l-epsilon;l+epsilon[ )
il existe un réel A (c'est le nombre suffisamment grand)
tel que pour tout réel x supérieur à A (le pour tout est important.... pas seulement quelques uns mais tous..)
on ait f(x) dans l'intervalle ]l-epsilon;l+epsilon[.

Si l'on revient au problème on a vu qu'à partir de la valeur x0 les images sont supérieures à f(x0) qui est strictement supérieur à l.
Donc en prenant un epsilon plus petit que l'écart entre f(x0) et l, les images ne seront jamais dans cet intervalle à partir de la valeur x0 cela contredit le fait que la limite de f est l quand x tend vers +infini.

Fais un graphique, cela se comprend plus aisément.