Une limite difficile

[besttrainer]

bonjour ! est ce que quelqu'un peut me donner des idées pour calculer cette limite en utilisant l'encadrement ??
lim(x-sin(x))/(tan(x)-x) quand x tend vers 0

[Sourire_banane]

bonjour ! est ce que quelqu'un peut me donner des idées pour calculer cette limite en utilisant l'encadrement ??
lim(x-sin(x))/(tan(x)-x) quand x tend vers 0

Salut,

Moi je vois un petit DL.
tan(x) = x + x^3/3 + o(x^3)
Donc tan(x) - x = x^3/3 + o(x^3)

sin(x) = x - x^3/3! + o(x^3)

Donc (x-sin(x))/(tan(x)-x) = (x^3/6 + o(x^3))/(x^3/3 + o(x^3))=(x^3/x^3)*(1/6 + o(1))/(1/3 + o(1)) qui tend vers 1/2 (car les o(1) sont des termes qui tendent vers 0).

Tu remarqueras qu'avoir travaillé avec des O(x^4) n'aurait pas permis de conclure.

[chombier]

C'est sur que sans DL, c'est difficile.

Une piste serait d'écrire



Reste à prouver (sans DL, si c'est le jeu) que et que .

[Sourire_banane]

C'est sur que sans DL, c'est difficile.

Une piste serait d'écrire



Reste à prouver (sans DL, si c'est le jeu) que et que .

En fait ce que tu lui fais faire c'est dans le même esprit. Voir qu'il y a une dépendance proportionnelle entre x-sin(x) et x^3, etc. de manière asymptotique.

[chombier]

En fait ce que tu lui fais faire c'est dans le même esprit. Voir qu'il y a une dépendance proportionnelle entre x-sin(x) et x^3, etc. de manière asymptotique.

Ce qui n'est pas évident sans DL (mais forcément possible). Vu qu'on est dans le sous-forum lycée, c'est peut-être ce qu'il cherche (?)

Enfin, en lycée, ce serait un exercice guidé, pas brut comme ça. Sans DL je n'ai pas de solution toute faite. C'est le problème avec les maths, quand on a un bel outil sophistiqué... on a du mal à s'en passer !!!

[Sourire_banane]

Ce qui n'est pas évident sans DL (mais forcément possible). Vu qu'on est dans le sous-forum lycée, c'est peut-être ce qu'il cherche (?)

Enfin, en lycée, ce serait un exercice guidé, pas brut comme ça. Sans DL je n'ai pas de solution toute faite. C'est le problème avec les maths, quand on a un bel outil sophistiqué... on a du mal à s'en passer !!!

Oui, c'est maintenant devenu la première des choses qui me passe par la tête quand je regarde des exos comme ça ^^
Par contre, les sous-exos que tu lui as concocté ne sont pas bien plus aisés !

[Black Jack]

lim(x--> 0) (x-sin(x))/(tan(x)-x) est de la forme 0/0 ---> Lhospital

= lim(x--> 0) (1-cos(x))/(1/cos²(x) -1) = lim(x--> 0) cos²(x).(1-cos(x))/(1 -cos²(x))

= lim(x--> 0) cos²(x)/(1 + cos(x)) = 1/2

Vive le Marquis.

:zen:

[Sourire_banane]

lim(x--> 0) (x-sin(x))/(tan(x)-x) est de la forme 0/0 ---> Lhospital

= lim(x--> 0) (1-cos(x))/(1/cos²(x) -1) = lim(x--> 0) cos²(x).(1-cos(x))/(1 -cos²(x))

= lim(x--> 0) cos²(x)/(1 + cos(x)) = 1/2

Vive le Marquis.

:zen:

L'Hospital ? Quasi-hors programme pour moi et je l'ai jamais utilisé de toute manière ^^

[chombier]

L'Hospital ? Quasi-hors programme pour moi et je l'ai jamais utilisé de toute manière ^^

Tu n'avais pas de questions avant ? On te demande la limite abruptement comme ça, avec juste comme consigne "utiliser un encadrement" ?

[besttrainer]

Tu n'avais pas de questions avant ? On te demande la limite abruptement comme ça, avec juste comme consigne "utiliser un encadrement" ?

Pardon ! j'étais entrain d'essayer des trucs ! j'ai vu ce que vous avez postez mais je pense qu'on peut pas la calculer de ces manières car on n'a pas étudié les DL
et il n'y avait pas d'autre question :mur: !! et merci pour votre aide :we:

[besttrainer]

L'Hospital ? Quasi-hors programme pour moi et je l'ai jamais utilisé de toute manière ^^

comment tu as remplacé les deux termes par ses derivés

[Sourire_banane]

comment tu as remplacé les deux termes par ses derivés

C'est la règle de l'Hospital (un truc HP à ton niveau) :
Pour des fonctions dérivables en a, lim(x->a) f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)

[besttrainer]

C'est la règle de l'Hospital (un truc HP à ton niveau) :
Pour des fonctions dérivables en a, lim(x->a) f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)

ok merci :we:

[Black Jack]

C'est la règle de l'Hospital (un truc HP à ton niveau) :
Pour des fonctions dérivables en a, lim(x->a) f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)

Oui, enfin seulement dans les cas d'indéterminations du type 0/0 ou oo/oo (quels que soient les signes des infinis)

:zen: