Systeme d'équations

[modyn]

Bonjour,

je souhaite caractériser les positions dans l'espace des points d'un quadrilatère déformable ABCD.

C---B
| |
D---A

Les points D et C sont fixes, leur coordonnées ne changent pas, je souhaite donc avoir la position de B en fonction de la position de A. Aucune des longueurs composant le quadrilatère est identique.

je commence par exprimer la position de A en fonction de l'angle Alpha (entre DA et l'horizontale)

Xa = DA*cos(alpha)+Xd
Ya = DA*sin(alpha)+Yd

j'en déduit les coordonnées de A

pour le point B:
il se situe sur le cercle de rayon CB et de centre C
Xb=CB*cos(beta)+Xc
Yb=CB*sin(beta)+Yc

avec beta angle entre CB et l'horizontale

il se situe également sur le cercle de rayon AB et de centre A
Xb=AB*cos(teta)+Xa
Yb=AB*sin(teta)+Ya

avec teta angle entre AB et l'horizontale

en recherchant l'intersection de ces deux cercle j'aurais le point B soit:
CB*cos(beta)+Xc=AB*cos(teta)+Xa
CB*sin(beta)+Yc=AB*sin(teta)+Yc

Est-ce que quelqu'un peut me dire si mon raisonnement tiens la route et peut m'aider à résoudre le système d'équation. S'il y a une manière plus simple de faire je suis également preneur!

merci

[modyn]

Alors, personne pour m'aider dans mon problème?

[Dlzlogic]

Alors, personne pour m'aider dans mon problème?

Bonjour,
Je n'ai pas compris votre problème.
Au début vous dites que vous travaillez dans l'espace, or, on ne voit que des coordonnée en 2 dimensions.
Il vaudrait mieux que vous commenciez par décrire précisément
1- ce dont vous disposez (points fixes - longueurs - angles entre 2 côtés etc.)
2- ce que vous cherchez à faire

Viendra ensuite la méthode que vous avez essayée, les difficultés que vous avez rencontrées etc.
Telle qu'on lit votre question, vous tentez de résoudre le problème avant de l'avoir posé.

[EDIT]
J'ai repris point par point votre cheminement.
Apparemment vous connaissez les 3 longueurs DA, AB, CB.
Ceci n'est pas suffisant pour définir votre quadrilatère, il faut une dimension supplémentaire, n'importe laquelle, mais une seule. Ca peut être un angle, l'aire du quadrilatère, la distance du point B à la droite CD etc. Plus éventuellement une petite info supplémentaire dans le cas où il y aurait choix entre 2 solutions possibles.

[modyn]

En effet il s'agit d'un problème plan, je me suis mal exprimé. Il s'agit d'une cinématique que j'ai résolue graphiquement mais j'aimerais le faire de manière analytique pour en faire un fichier Excel.

En fait j'ai deux points fixes qui sont C et D dont je connais les coordonnées et je connais les 4 longueurs. Je souhaite obtenir la position des points A et B en fonction de l'angle alpha entre AD et l'horizontale (connu, que je ferai varier par la suite pour obtenir différentes positions).

j'ai donc commencé par déterminé les coordonnées de A via:
Xa = DA*cos(alpha)+Xd
Ya = DA*sin(alpha)+Yd

Il me reste ensuite à déterminer la position de B. je suis donc partie de l'idée que CB et AB décrivaient des cercles et j'en arrive aux équations suivantes:
CB*cos(beta)+Xc=AB*cos(teta)+Xa
CB*sin(beta)+Yc=AB*sin(teta)+Yc

Mais je n'arrive pas à résoudre ces équations. Merci pour votre aide

[Dlzlogic]

Donc, vous connaissez
1- les coordonnées de C et de D
2- les longueurs DA AB et BC
3- l'angle alpha entre l'axe de X et le segment DA.

Solution
1- vous calculez l'angle en D, c'est à dire l'angle CDA. C'est la différence entre le gisement de DC et alpha = atan ((yC-YD)/(xC-xD))- alpha
Vous utiliserez plutôt la fonction atan2((yC-yD),(xC-xD))
2- le triangle ADC est connu par un angle et 2 côtés. Pour calculer AC, vous utiliserez la formule a² = b² + c² + 2bc cosA
3- vous utiliserez la même formule pour résoudre le triangle ABC, là vous connaissez la longueur des 3 côtés.
4- maintenant, vous connaissez tous les éléments de la figure, vous n'aurez aucune difficulté à calculer les coordonnées du point B.

Je suppose que la faute dans le calcul de Ya est une erreur de copie.

[modyn]

Oui il y a une erreur de copie dans Ya. Merci pour votre solution

Donc je calcule l'angle ADC puis la longueur AC. Ensuite l'angle ABC mais comment j'en déduit les coordonnées de B?

[Dlzlogic]

J'appelle gisement l'angle d'un vecteur dans un repère donné.
Quand vous calculez les coordonnées de A, à partir des coordonnées de D vous calculez le cos et le sin du gisement de DA.
Pour calculer les coordonnées de B, c'est la même chose, vous calculer le gisement de AB à partir du gisement de AD et des angles des triangles que vous avez résolu. Faites un dessin sur une feuille de papier et vous verrez ça vient tout seul.
Bien sûr, il faut calculer tous les angles
gise(AB) = gise(DA) + PI + ang(DAC) + ang(CAB)
Moi, je travaille en grades, vous probablement en degrés, j'ai mis PI (radians) pour mettre tout le monde d'accord.