Equation différentielle et Matrice

[Catrock]

Bonjour,
J'implore votre indulgence, je suis nouveau sur ce site et mis dans un croisement de chemin, je dois en ces prochains jours passer des concours d'accès aux écoles, le porblème c'est que les programmes dont on nous teste ne sont pas ceux du DUT qu'est ma formation.

Bref, durant mes révisions, j'ai trouvé cette équation différentielle que j'ai du mal à résoudre:

Sin(x)*Y' - cos(x)*Y = x

On m'a demandé de la résoudre, j'ai bel essayé seul mais j'ai pas pu y trouver un chemin.

S'il vous plait aidez moi, j'ai l'impression que je suis condamné au désespoir. :cry2:

[ampholyte]

Bonjour,

Qu'as-tu fait pour le moment ? A quel moment bloques-tu ?

[Catrock]

j'ai essayé plusieurs trucs débiles, le dernier est j'ai fait Y'/Y=1/tanx, donc ln(y)=intégrale(1/tanx), et là je suis resté bloqué.Dans le questionnaie on me propose 3 solutions à choisir celle qu'est juste, mais je vois que je suis bien éloigné de la solution!

[ampholyte]

Pourtant tu es sur le bon chemin. Il suffit de ne pas passer par tan(x).

Tu cherches donc à calculer

Il faut ensuite changer de variable en posant :

t = sin(x) donc dt = cos(x) dx

On a donc

Est-ce ok pour toi ?

Une fois à cette étape il devient facile de trouver la primitive de 1/t et donc de poursuivre l'exercice =).

[Catrock]

Que puis je te dire,je ne sais pas comment pourrais je te remercier, tu m'as vraiment impregné de l'espoir!

maintenant, grâce au changement de variables c'est plus clair:

donc ln(y)=ln[sin(x)]

alors Y=sinx !?

[ampholyte]

(Tu dois également vérifier que sin(x) soit positif sinon le ln ne veut rien dire !)

Attention à ne pas confondre Y et y.

ln(y) = ln(sin(x)) alors y = sin(x) donc Y = ...

edit : attention au notation Y et y n'ont pas la même signification.

D'ailleurs pourquoi est-on passé de Y à y ?

[Catrock]

Oui il disent que c'est dans l'intervalle ]o,pi/2[, donc sin est positif, donc y=sin(x), mais ca me perturbe car les solutions qu'ils m'ont proposés sont:

1-y=sin(x)[cst+ln[sin(x)]]
2- y= -xcos(x)+sin(x)(cst+ln[sin(x)]
3- y= -xsin(x)+sin(x)(cst+ln[sin(x)]

je sais pas comment arriver à une de ces solutions qu'ils m'ont demander de chosiir celle qu'est correcte?

[ampholyte]

Attention tu n'as pas terminé, tu dois maintenant trouvé la solution particulière de l'équation !

[Catrock]

J'en ai aucune idée dessus,désolé de ma nullité :(

[ampholyte]

HHHaaaaa d'accord tu as des solutions !!!

Le plus simple est donc de trouver laquelle fonctionne !

Il te suffit donc de vérifier si 1) répond à l'équation sin(x)y' - cos(x)y = x
ect...

Comprends-tu ?

[Catrock]

Tu veux dire que je dois prendre chaque solution, la dériver et puis la remplacer dans l'équation?

[ampholyte]

Je pense que c'est le mieux à faire si tu n'es pas à l'aise avec les changements de variables et résolution de ce type.

[Catrock]

ca me serait très long de le faire et le temps dans le concours m'est compté, s'il te plait si t'as le temps montre moi l'astuce je t'implore

[ampholyte]

Bon alors reprenons.

1) On résoud sin(x)y' - cos(x)y = 0

On obtient y = Ksin(x) avec K constante (je te laisse refaire le calcul en oubliant pas la constante d'intégration).

2) Solution particulière par la méthode de variation des variables
On a donc y = K(x) sin(x)

y' = K'(x) sin(x) + K(x) cos(x)

Il nous reste donc (je te laisse vérifier) :

K'(x)sin²(x) = x

K'(x) = x/sin²(x) => Il ne reste plus qu'à intégrer le tout

En posant t = tan(x/2), on sait que sin(x) = 2t/(1+t²) donc 1/sin²(x) = (1+t²)²/(2t)²

Il ne reste plus qu'à intégrer et avec un IPP tu devrais t'en sortir.

Personnellement au vu de ton manque de connaissance sur ce sujet je te conseille :

1) Dérivée les réponses (avec un peu de chance la première sera la bonne !)

2) De sauter la question et revenir après si tu as le temps

[Catrock]

Merci infiniment :), maintenant je vois un peu de la lumière du fond de mon puit sec!
Mais je veux savoir est ce que x est une variable ou une constante?

[ampholyte]

x est une variable. Que veux-tu dire par cette question ?

[Catrock]

je voulais dire que dans l'intégration si c'était un constante je peux la mettre en dehors de l'intégrale, mais jusqu'à maintenant IPP Je sais pas par où commencer, j'ai prris u'=(1+t²)²/(2t)² et v= x mais ca m'a guidé à rien :(

[ampholyte]

Tu n'es plus sencé avoir de x dans ton expression !

Si on pose t = tan(x/2), que vaut dx en fonction t et que vaut x en fonction de t ?

[Catrock]

peut-être x= 2*arctan(t) et dx=2/1+t² c'est correct?

[ampholyte]

ok pour x = 2 arctan(t)

En revanche je ne suis pas d'accord pour dx.

t = tan(x/2)

dt/dx = ...