Ellipse

[Jacques COLLOT]

On demande de résoudre la question suivante par la TROGONOMETRIE

Dans le triangle ABC, l’angle A varie de telle sorte que la norme de AB + la norme de AC ( | AB | + | AC | ) reste constante. On demande de démontrer que le produit de la distance de B à la bissectrice extérieure de l’angle A par la distance de C à cette même bissectrice extérieure reste constant.

La question se résoud facilement par la géométrie synthétique, mais par la trigono, je bloque.

D'avance merci.
Jacques

[Flodelarab]

quelle est la différence entre la bissectrice exterieure et la bissectrice intérieure ?

[pgeod]

Bonjour Jacques,

Je te propose cette petite résolution à l'aide de la trigo, pour répondre à ta question :

soit d1 la distance du sommet C à la bissectrice de l'angle extérieur en A et
d2 la distance du sommet B à la bissectrice de l'angle extérieur en A, on a :

d1 = b sin (B+C)/2 = b sin (pi-A)/2 = b cos A/2
d2 = c sin (B+C)/2 = c sin (pi-A)/2 = c cos A/2
par conséquent le produit d1 par d2 : d1.d2 = bc cos² A/2
or cos² x/2 = (1 + cos x) / 2
donc d1.d2 = bc (1 + cos A) / 2

et en utilisant la relation d'al-Kashi : a² = b² + c² - 2bc cos A
on a 1 + cos A = (2bc + b² + c² - a²) / 2bc = ((b + c)² - a²) / 2bc
ou bien 1 + cos A = (b + c -a) (b + c + a) / 2bc

on en déduit donc l'expression de d1.d2 en fonction de a, b et c :

d1.d2 = ((b + c)² - a²) / 4

Pour conclure, puisque la grandeur a est fixe, que (b + c) est constante,
le produit d1.d2 reste bien constant.

Voilà, j'espère t'avoir aider pour la suite.

...

[Jacques COLLOT]

Un grand merci à PGEOD

Un fois que l'on voit la solution cela semble toujours simple. En attendant, j'ai cherché pendant des heures.

Encore merci pour cette réponse rapide et mes félicitations.

Jacques

[Jacques COLLOT]

J'ai envoyé la réponse par mail
Salutations
Jacques