Longueur de courbe

[FrankGalax]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir de math où je dois écrire une intégrale qui calcul la longueur de la boucle de la courbe suivante :



Je crois que l'intégrante sera sqrt((t^3-t)^2+(2*t^2)^2)dt. Par contre, je n'ai aucune idée des valeurs des bornes d'intégration.

Ma question : Comment faire pour trouver la valeur de t ou la boucle commence et se termine, soit au point A?

Merci pour votre temps

[JeanJ]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir de math où je dois écrire une intégrale qui calcul la longueur de la boucle de la courbe suivante :



Je crois que l'intégrante sera sqrt((t^3-t)^2+(2*t^2)^2)dt. Par contre, je n'ai aucune idée des valeurs des bornes d'intégration.

Ma question : Comment faire pour trouver la valeur de t ou la boucle commence et se termine, soit au point A?

Merci pour votre temps

OP=sqrt((t^3-t)^2+(2*t^2)^2) est la longueur du vecteur OP ayant pour origine (0,0) et pour extrémité le point P de la courbe correspondant au paramètre t.
OP n'est pas sur la courbe, donc ce n'est évidemment pas en intégrant OP*dt ( qui n'est pas un élément de la courbe) que l'on obtiendra la longeur de la courbe.
Le point de départ de l'intégration peut être l'origine (0,0) Quelle est la valeur correspondante de t ?
Le point d'arrêt de l'intégration peut être pris au point situé sur l'axe des ordonnées (ce qui donnera la moitié de la longueur totale de la boucle). Quelle est la valeur de t correspondant à ce point ?

[FrankGalax]

Bonjour JeanJ,

J'ai trouvé qu'au point (0;0) t vaut 0, puisque c'est la seule valeur de t qui donne le vecteur nul pour r. J'ai trouvé aussi que lorsque la courbe est "verticale", t vaut +-1 puisque la composante i du vecteur r vaut 0 et la composante j vaut 2. Donc, je sais que la valeur absolue de T au point A doit être supérieure à 1. Par contre, je cherche un critère qui me permettra de déduire cette valeur.

Je sais que rx(t) = -rx(-t) et que ry(t) = ry(-t)

Merci de votre réponse

[JeanJ]

Bonjour JeanJ,

J'ai trouvé qu'au point (0;0) t vaut 0, puisque c'est la seule valeur de t qui donne le vecteur nul pour r. J'ai trouvé aussi que lorsque la courbe est "verticale", t vaut +-1 puisque la composante i du vecteur r vaut 0 et la composante j vaut 2. Donc, je sais que la valeur absolue de T au point A doit être supérieure à 1. Par contre, je cherche un critère qui me permettra de déduire cette valeur.

Je sais que rx(t) = -rx(-t) et que ry(t) = ry(-t)

Merci de votre réponse

Le point courant P (x,y) sur la courbe est défini par x=t^3 -t , y=2 t^2
Lorsque t varie de t=0 à t=1, quelles sont les variations correspondantes de x et de y ? Quel est le parcours correspondant de P sur la courbe ?
Et as-tu compris où est l'erreur faite en écrivant : l'intégrante sera sqrt((t^3-t)^2+(2*t^2)^2)dt , ce qui ne donne pas du tout la longueur parcourue sur la courbe.

[FrankGalax]

Ok oui je comprend comment faire l'équivalence entre t, x et y. je comprend aussi que l'intégrante n'est pas correcte. je vais réviser mes notes sur les longueurs de courbe. Merci de votre patience.