Démontrer inégalité avec dérivée

[mlleceliine]

Bonjour,
Je suis en 1ère S et je bloque pour démontrer une inégalité sur un intervalle I :
Soit f(x)=;)x+(2/;)x)>=2;)2 sur I=[0;4]

Tout d'abord, voilà ce que j'ai fait :
[CENTER]f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+(2*((1/2;)x)/x))
= (1/2;)x)+(1/;)x)
= 3/(2;)x)[/CENTER]

Et donc 2;)x tjrs >=0 (car x>0) et f'(x)>=0
=>f(x) croissante sur I=[0;4]

Mais ce que je n'arrive pas, ça peut paraître tout bête, c'est calculer ensuite mon f(0), qui, si je le fais avec mon f(x) de départ, me donne qqc d'impossible étant donné la division par x :
[CENTER]f(0)=;)0+(2/;)0)[/CENTER]

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,
Je suis en 1ère S et je bloque pour démontrer une inégalité sur un intervalle I :
Soit f(x)=;)x+(2/;)x)>=2;)2 sur I=[0;4]

Tout d'abord, voilà ce que j'ai fait :
[CENTER]f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+(2*((1/2;)x)/x))
= (1/2;)x)+(1/;)x)
= 3/(2;)x)[/CENTER]

Et donc 2;)x tjrs >=0 (car x>0) et f'(x)>=0
=>f(x) croissante sur I=[0;4]

Mais ce que je n'arrive pas, ça peut paraître tout bête, c'est calculer ensuite mon f(0), qui, si je le fais avec mon f(x) de départ, me donne qqc d'impossible étant donné la division par x :
[CENTER]f(0)=;)0+(2/;)0)[/CENTER]

Salut,

Tu te compliques bien la vie pour rien. Il suffit que tu réduises au même dénominateur à gauche, pour multiplier à gauche et à droite par racine de x et puis conclure en passant au carré des deux côtés par croissance de la fonction carrée.

[jlb]

Bonjour,
Je suis en 1ère S et je bloque pour démontrer une inégalité sur un intervalle I :
Soit f(x)=;)x+(2/;)x)>=2;)2 sur I=[0;4]

Tout d'abord, voilà ce que j'ai fait :
[CENTER]f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+(2*((1/2;)x)/x))
= (1/2;)x)+(1/;)x)
= 3/(2;)x)[/CENTER]

Et donc 2;)x tjrs >=0 (car x>0) et f'(x)>=0
=>f(x) croissante sur I=[0;4]

Mais ce que je n'arrive pas, ça peut paraître tout bête, c'est calculer ensuite mon f(0), qui, si je le fais avec mon f(x) de départ, me donne qqc d'impossible étant donné la division par x :
[CENTER]f(0)=;)0+(2/;)0)[/CENTER]

erreur dans le second terme de ta dérivée ( tu as utiliser (1/u)' = -u'/u², vérifie bien tes calculs) sinon à priori erreur dans l'énonce, ce n'est pas plutôt I=(0;1] ?

[jlb]

Bonjour,
Je suis en 1ère S et je bloque pour démontrer une inégalité sur un intervalle I :
Soit f(x)=;)x+(2/;)x)>=2;)2 sur I=[0;4]

Tout d'abord, voilà ce que j'ai fait :
[CENTER]f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+(2*((1/2;)x)/x))
= (1/2;)x)+(1/;)x)
= 3/(2;)x)[/CENTER]

Et donc 2;)x tjrs >=0 (car x>0) et f'(x)>=0
=>f(x) croissante sur I=[0;4]

Mais ce que je n'arrive pas, ça peut paraître tout bête, c'est calculer ensuite mon f(0), qui, si je le fais avec mon f(x) de départ, me donne qqc d'impossible étant donné la division par x :
[CENTER]f(0)=;)0+(2/;)0)[/CENTER]

vérifie le calcul de ta dérivée, une erreur dans le second terme et I=(0;1]

[mlleceliine]

[quote="Kikoo =(2;)2x)²
= x²+2x+4>=8x>=0
= x²-6x+4>=0
Et après je calcule delta...? Il doit y avoir qqc qui m'échappe là :doute2: ...Parce que si je calcule delta ça me donne 20, et x1 =(6-;)20)/2=(6-2;)5)/2=3-;)5
et x2 =3+;)5

Mais en fait je sais pas trop à quoi ça va me servir de calculer ces racines, je crois qu'en fait je fais complètement fausse route, non...?

[mlleceliine]

vérifie le calcul de ta dérivée, une erreur dans le second terme et I=(0;1]

oui je me suis trompée :

f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+((2/2;)x)/x)
= (1/2;)x)+(1/x;)x)
= (x;)x+2;)x)/(2;)x*x;)x)
= x*(x+2)/2x²

-> x>=0
-> x+2>=0 qd x>=-2
->2x²>=0

-2 n'appartient pas à l'intervalle [0;4] dc f'(x) positive sur I et f(x) croissante
Encore une fois, je ne suis pas certaine que ce soit vraiment bon ;S

[mlleceliine]

PS : Je n'ai pas trop compris lorsque tu indiques "et I=(0;1]I=(0;1]"

[jlb]

oui je me suis trompée :

f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+((2/2;)x)/x)
= (1/2;)x)+(1/x;)x)
= (x;)x+2;)x)/(2;)x*x;)x)
= x*(x+2)/2x²

-> x>=0
-> x+2>=0 qd x>=-2
->2x²>=0

-2 n'appartient pas à l'intervalle [0;4] dc f'(x) positive sur I et f(x) croissante
Encore une fois, je ne suis pas certaine que ce soit vraiment bon ;S

encore une petite erreur!! (1/u)' = -u'/u² mais après tu devrais avoir ton résultat: ton expression présente un minimum en 2 et tu calcules f(2) =0 et bingo!

en 0, l'expression n'est pas définie donc I=]0;1]

[mlleceliine]

ah oui d'accord, je comprend mieux mtn, en fait j'avais oublié le moins devant le 2u'/u² --'
Mais par contre du coup, ça me donne f'(x) = (;)x*(x-2))/2x²
Et -> ;)x>=0
->x-2>=0 qd x>=2
-> 2x²>=0

Dc je tombe sur un minimum en 2 et f(2)=0
J'ai encore fait une erreur, ça c'est sûr, mais j'ai beau le fre et le refre, je n'arrive pas à savoir qu'est-ce qui cloche :S

[jlb]

ah oui d'accord, je comprend mieux mtn, en fait j'avais oublié le moins devant le 2u'/u² --'
Mais par contre du coup, ça me donne f'(x) = (;)x*(x-2))/2x² [là, il y a une boulette]
Et -> x>=0
->x-2>=0 qd x>=2
-> 2x²>=0

Dc je tombe sur un minimum en 2 et f(2)=0
J'ai encore fait une erreur, ça c'est sûr, mais j'ai beau le fre et le refre, je n'arrive pas à savoir
qu'est-ce qui cloche :S

dans ton post précédent tu changes le signe + en - ( ton petit oubli) et ensuite tu factorises 1/rac(x)

il doit avoir en facteur 1/2 - 1/x 1/rac(x) est strictement positif il te reste à étudier le signe de 1/2 - 1/x

[jlb]

oui je me suis trompée :

f(x)= x+(2/;)x)-2;)2

f'(x) = (1/2;)x)+((2/2;)x)/x) [ là tu corriges ton erreur de signe ]
= (1/2;)x)+(1/x;)x) [ pareil!]
= 1/rac(x) *{ 1/2 .... [ à toi de compléter]

après tu cherches le signe de ce qu'il y a dans l'accolade et tu dois obtenir le résultat: la valeur importante c'est 1/2

à priori tu as du commettre des erreurs en mettant au même dénominateur.... à chaque fois :ptdr:

bon courage

[jlb]

ah oui d'accord, je comprend mieux mtn, en fait j'avais oublié le moins devant le 2u'/u² --'
Mais par contre du coup, ça me donne f'(x) = (;)x*(x-2))/2x²
Et -> x>=0
->x-2>=0 qd x>=2
-> 2x²>=0

Dc je tombe sur un minimum en 2 et f(2)=0
J'ai encore fait une erreur, ça c'est sûr, mais j'ai beau le fre et le refre, je n'arrive pas à savoir qu'est-ce qui cloche :S

non c'est bon maintenant c'est moi qui ai écris une erreur, je n'avais pas vérifié, j'ai corrigé au dessus.

[mlleceliine]

non c'est bon maintenant c'est moi qui ai écris une erreur, je n'avais pas vérifié, j'ai corrigé au dessus.

ah ok merci bcp mais je ne comprend tjrs pas d'où vient ce ]0;1] : en principe j'étais censé montrer cette inégalité sur tout l'intervalle I, j'ai le droit de simplement prendre une "partie" de cet intervalle ? Et pourquoi 1 ?... :doute:

[nodjim]

Si le passage par la dérivée n'est pas obligatoire:
rx+2/rx>=2r2
rx/x(x+2)>=2r2
Comme x>0, c'est encore vrai pour leur carré (a>b>0 alors a²>b²)
(x+2)²/x>=8
(x+2)²>=8x
(x-2)²>=0
Toujours vrai

[jlb]

ah ok merci bcp mais je ne comprend tjrs pas d'où vient ce ]0;1] : en principe j'étais censé montrer cette inégalité sur tout l'intervalle I, j'ai le droit de simplement prendre une "partie" de cet intervalle ? Et pourquoi 1 ?... :doute:

en 0 le calcul te demanderait de diviser par 0, ce n'est pas envisageable!!! tu doit donc enlever 0 de ton intervalle d'étude. Dans d'autres situations tu pourrais avoir plusieurs valeurs à enlever ou aucune! dans ton cas seule la valeur 0 pose problème.

[mlleceliine]

en 0 le calcul te demanderait de diviser par 0, ce n'est pas envisageable!!! tu doit donc enlever 0 de ton intervalle d'étude. Dans d'autres situations tu pourrais avoir plusieurs valeurs à enlever ou aucune! dans ton cas seule la valeur 0 pose problème.

Ah d'accord, c'est juste que je ne savais pas que je pouvais enlever une donnée de mon intervalle de départ(celui qui m'était donc demandé), puisque dans l'exercice, il m'était dit de démontrer cette inégalité, donc je pensais que c'était forcément vrai pr tout l'intervalle. Enfin bon, l'essentiel c'est que j'ai compris ...! merci bcp du coup de pouce, ça me semble plus clair maintenant :++:

[mlleceliine]

Si le passage par la dérivée n'est pas obligatoire:
rx+2/rx>=2r2
rx/x(x+2)>=2r2
Comme x>0, c'est encore vrai pour leur carré (a>b>0 alors a²>b²)
(x+2)²/x>=8
(x+2)²>=8x
(x-2)²>=0
Toujours vrai

Ok, donc au final je peux faire selon 2 méthodes, sans la dérivée et avec...celle-ci me semble plus simple ms c'est pas grave, je me serais qd mm entraîner pr calculer mes dérivées ;P

merci de votre aide, je crois que ça va aller un peu mieux mtn pour ce genre de démonstration d'inégalités, c'est tout bête en fait, suffit d'y penser quoi...! :king:
Bonne journée à tous