mon tipe porte sur une expérience de physique et quelques aspects théoriques, dont la méthode des moindres carrées utilisées pour des régressions et des déterminations de constantes.
J'ai commencé par regarder le truc de base : la régression linéaire.
Etant donné une distribution de n points (n > 2), on veut trouver une droite qui approche le mieux possible cette distribution de points.
On cherche en fait à trouver une droite affine qui minimise la somme des distances au carré des points à la droite. Précisément, notant
Je voudrais montrer qu'il y a effectivement un minimum.
Jétudie donc la fonction f associée, i.e. la fonction de
Il s'agit d'une fonction de classe C2 (et même de classe C infinie).
Les minimums sont à chercher parmi les points critiques de cette fonction : on chercher a et b tels que les deux dérivées partielles soient nulles. On trouve une solution unique et cette solution correspond à la formule utilisée par tous les logiciels de régression linéaire.
Maintenant il faut montrer qu'il s'agit bien d'un minimum et c'est là mon problème.
Je ne sais pas comment montrer qu'il s'agit bien d'un minimum global (au passage, en calcul la matrice hessienne de f en ce point on trouve que son déterminant est supérieur ou égal à 0. En faisant abstraction du cas où le déterminant est nul, cela montre bien qu'il s'agit d'un minimum local, mais pas nécessairement global).
Vu l'état des solutions soustraire le résultat à la fonction f et vérifier que la différence est toujours positive ne me semble pas faisable.
Je pense donc à montrer l'existence d'un minimum, indépendamment de l'étude ci-dessus, auquel cas le minimum est forcément celui trouvé plus haut.
Seulement je ne vois pas comment faire. Ma 1ère idée serait de me ramener à un compact mais je ne trouve pas lequel.
Merci d'avance pour vos idées
