Bonjour à tous ,
Notre professeur de math à eu la bonne idée de nous donner un DM pendant les fêtes.
J'y ai déja passé un peu de temps et j'aurai besoin de votre aide pour avancer s'il vous plait
Voici les exercices :
Exercice 1 :
Soient deux fonctions f et g définie sur [0;+infini[ par :
f(x)=xe^-x
g(x)=x²e^-x
On nous demande de tracer sur la calculatrice les fonctions.
1. Quelles semblent être les variations de f ( sur l'ensemble de définition) et sa limite en +infini ?
Ici, j'ai dit que f semblait être croissante jusqu'en 1 puis strictement décroissante.
et que Sa limite en +infini est 0
2. Valider ses conjectures à l'aide d'une demonstration .
Alors j'ai commencé par carculer la dérivée de f en utilisant f=u*v
j'obtient : f '(x)= e^-x(1+x) .
Ensuite là il me semblait logique de faire un tabelau de signe de f' est d'en déduire les variations de f mais je suis bloquée dans sa construction car e^-x est normalement positive ce qui voudrait dire que f est croissante or ce n'est pas le cas non ?
et comment peut on demontrer sa limite ? en utilisant la limite d'un produit ?
3. Quelle semble être la position relative de la courbe de f par rapport à la courbe de g ? Valider cette conjecture à l'aide d'une demonstration ?
Ici j'ai regardé graphiquement leur position mais je n'ai aucune idée de comment commencer la demonstration ...
Exercice 2
La fonction f est définie sur R telle que f(x)=xe^(x-1)+1
Partie A :
1. Determiner la limite de f en -l'infini. Que peut on en déduire pour la courbe de f ?
Par limite de produit j'ai trouvé que la limite de f en - l'infin est 0.
J'en ai deduit que f(x)>0
2. Determiner la limite de f en +infini
Par limite de produit egalement j'ai trouvé que la limite de f en +infini est +infini
3. On admet que f est dérivable sur R et on note f' sa dérivée. Montrer que pour tout réel x, f '(x)=(x+1)e^(x-1)
En calculant la dérivée de f avec f'=u'v+uv' je retrouve le même resultat.
4. Etudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variations de R
Ici, je ne suis pas certaine de ma réponse voilà ce que jai fais :
j'ai étudier le signe de f' est je trouve qu'elle est positive sur R donc selon moi f est strictement croissante entre -infini et +infini.
Partie B
Soit a un réel strictement positif. Le but est de determiner s'il existe une tangente à la courbe de f au point d'abcisse a, qui passe par l'origine du repère.
1. on appelle Ta la tangente à la courbe au point d'abcisse a. Donner une equation de Ta.
y=f '(a)(x-a)+f(a)
donc y= ((a+1)e^(a-1))(x-a)+(ae^(a-1)+1)
2. Démontrer qu'une tangente à la courbe au point d'abcisse a strictement positive passe par l'origine du repere si et seulement si a vérifie l'égalité 1-x²e^(x-1)=0
Ici je voulais retrouver cette égalité à partir de ((a+1)e^(a-1))(x-a)+(ae^(a-1)+1)=0
mais après de multiples tentatives je n'arrive toujours pas au même resultat.
3. Démontrer que 1 est l'unique solution sur l'intervalle ]0;+infini [ de l'équation 1-x²e^(x-1)=0
Je ne sais pas comment peut on retrouver cette solution. J'ai pensé à un trinome mais je ne sais pas comment exploiter cette equation ;
4. Donner une équation de la tangente recherchée.
Pour cette question, il me semble qu'en reprenant l'equation de la tangente et en remplacant a par 1 on devrait trouver une equation mais je ne l'ai pas encore fait.
Voila
J'espère pouvoir obtenir votre aide :)
PS : désolé mais je n'ai pas trouvé comment écrire les +et -infini correctement ...
DM Terminale sur les exponentielles
30 messages
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par Manny06 » 30 Déc 2012, 12:35
supergrjuju a écrit:Bonjour à tous ,
Notre professeur de math à eu la bonne idée de nous donner un DM pendant les fêtes.
J'y ai déja passé un peu de temps et j'aurai besoin de votre aide pour avancer s'il vous plait
Voici les exercices :
Exercice 1 :
Soient deux fonctions f et g définie sur [0;+infini[ par :
f(x)=xe^-x
g(x)=x²e^-x
On nous demande de tracer sur la calculatrice les fonctions.
1. Quelles semblent être les variations de f ( sur l'ensemble de définition) et sa limite en +infini ?
Ici, j'ai dit que f semblait être croissante jusqu'en 1 puis strictement décroissante.
et que Sa limite en +infini est 0
2. Valider ses conjectures à l'aide d'une demonstration .
Alors j'ai commencé par carculer la dérivée de f en utilisant f=u*v
j'obtient : f '(x)= e^-x(1+x) .
Ensuite là il me semblait logique de faire un tabelau de signe de f' est d'en déduire les variations de f mais je suis bloquée dans sa construction car e^-x est normalement positive ce qui voudrait dire que f est croissante or ce n'est pas le cas non ?
et comment peut on demontrer sa limite ? en utilisant la limite d'un produit ?
3. Quelle semble être la position relative de la courbe de f par rapport à la courbe de g ? Valider cette conjecture à l'aide d'une demonstration ?
Ici j'ai regardé graphiquement leur position mais je n'ai aucune idée de comment commencer la demonstration ...
Exercice 2
La fonction f est définie sur R telle que f(x)=xe^(x-1)+1
Partie A :
1. Determiner la limite de f en -l'infini. Que peut on en déduire pour la courbe de f ?
Par limite de produit j'ai trouvé que la limite de f en - l'infin est 0.
J'en ai deduit que f(x)>0
2. Determiner la limite de f en +infini
Par limite de produit egalement j'ai trouvé que la limite de f en +infini est +infini
3. On admet que f est dérivable sur R et on note f' sa dérivée. Montrer que pour tout réel x, f '(x)=(x+1)e^(x-1)
En calculant la dérivée de f avec f'=u'v+uv' je retrouve le même resultat.
4. Etudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variations de R
Ici, je ne suis pas certaine de ma réponse voilà ce que jai fais :
j'ai étudier le signe de f' est je trouve qu'elle est positive sur R donc selon moi f est strictement croissante entre -infini et +infini.
Partie B
Soit a un réel strictement positif. Le but est de determiner s'il existe une tangente à la courbe de f au point d'abcisse a, qui passe par l'origine du repère.
1. on appelle Ta la tangente à la courbe au point d'abcisse a. Donner une equation de Ta.
y=f '(a)(x-a)+f(a)
donc y= ((a+1)e^(a-1))(x-a)+(ae^(a-1)+1)
2. Démontrer qu'une tangente à la courbe au point d'abcisse a strictement positive passe par l'origine du repere si et seulement si a vérifie l'égalité 1-x²e^(x-1)=0
Ici je voulais retrouver cette égalité à partir de ((a+1)e^(a-1))(x-a)+(ae^(a-1)+1)=0
mais après de multiples tentatives je n'arrive toujours pas au même resultat.
3. Démontrer que 1 est l'unique solution sur l'intervalle ]0;+infini [ de l'équation 1-x²e^(x-1)=0
Je ne sais pas comment peut on retrouver cette solution. J'ai pensé à un trinome mais je ne sais pas comment exploiter cette equation ;
4. Donner une équation de la tangente recherchée.
Pour cette question, il me semble qu'en reprenant l'equation de la tangente et en remplacant a par 1 on devrait trouver une equation mais je ne l'ai pas encore fait.
Voila
J'espère pouvoir obtenir votre aide
PS : désolé mais je n'ai pas trouvé comment écrire les +et -infini correctement ...
pour le 1) f'(x)=(1-x)e^(-x)
pour la limite tu as du voir en cours la limite de e^x/x quand x tend vers + infini
pour la position relative etudie le signe de g(x) -f(x)
par Joker62 » 30 Déc 2012, 12:40
Bonjour,
Pour commencer la dérivée de f est fausse.
La dérivée de la fonction x--> e^(-x) est la fonction x--> -e^(-x)
[ La dérivée de g : x --> f(ax+b) est donnée par g' : x --> a*f ' (ax+b) ||| ici a = -1 et b = 0 ]
Donc on trouve f'(x) = (1-x)*e^(-x)
Sauf que comme tu le dis, e^(-x) est toujours positif donc le signe de f' dépend du signe de 1-x
Et le signe d'une fonction affine, tu sais faire j'imagine ?
Pour la limite en +;), on commence par regarder si c'est une forme indéterminée (;)-;) , 0/0 , 0x;) , ;)/;))
Si ça ne l'est pas, on fait une belle rédaction, si ça l'est, on s'arrange pour faire apparaître une limite du cours (Il n'y en a pas des tonnes sur l'exponentielle)
Edit : Grilled Sorry :)
Pour commencer la dérivée de f est fausse.
La dérivée de la fonction x--> e^(-x) est la fonction x--> -e^(-x)
[ La dérivée de g : x --> f(ax+b) est donnée par g' : x --> a*f ' (ax+b) ||| ici a = -1 et b = 0 ]
Donc on trouve f'(x) = (1-x)*e^(-x)
Sauf que comme tu le dis, e^(-x) est toujours positif donc le signe de f' dépend du signe de 1-x
Et le signe d'une fonction affine, tu sais faire j'imagine ?
Pour la limite en +;), on commence par regarder si c'est une forme indéterminée (;)-;) , 0/0 , 0x;) , ;)/;))
Si ça ne l'est pas, on fait une belle rédaction, si ça l'est, on s'arrange pour faire apparaître une limite du cours (Il n'y en a pas des tonnes sur l'exponentielle)
Edit : Grilled Sorry :)
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 12:53
Oui merci, j'ai corrigé l'erreur sur la dérivée.
J'ai également réussi à comprendre pour la question 2 et je retrouve bien ce que j'avais conjecturé au début en étudiant le signe de (x-1)
Pour la limite on change de forme en disant que cela équivaut à limite de e^x/x quand x tend vers + infini donc +infini
mais donc ça ne tend pas vers 0 comme je l'avais conjecturé ?
J'ai également réussi à comprendre pour la question 2 et je retrouve bien ce que j'avais conjecturé au début en étudiant le signe de (x-1)
Pour la limite on change de forme en disant que cela équivaut à limite de e^x/x quand x tend vers + infini donc +infini
mais donc ça ne tend pas vers 0 comme je l'avais conjecturé ?
par Joker62 » 30 Déc 2012, 12:59
Tu as x/e^x = 1/(e^x/x)
Le dénominateur tend vers +;) donc le final tend vers 0
C'est ta conjecture qui était fausse :)
(En même temps, en traçant la courbe, ça ne s'envole pas vers +;) ...)
Le dénominateur tend vers +;) donc le final tend vers 0
C'est ta conjecture qui était fausse :)
(En même temps, en traçant la courbe, ça ne s'envole pas vers +;) ...)
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 13:08
Joker62 a écrit:Tu as x/e^x = 1/(e^x/x)
Le dénominateur tend vers +;) donc le final tend vers 0
C'est ta conjecture qui était fausse
(En même temps, en traçant la courbe, ça ne s'envole pas vers +;) ...)
Ok merci c'est juste que j'avais oublié de changer le signe en passant à la fraction
j'ai compris maintenant mais ma conjecture était juste c'est juste que ma fausse démonstration m'a induite en erreur
POur le la position de f par rapport à g
j'ai étudié le signe de g(x)-f(x)= x²e^(-x)-xe^(-x)
= e^(-x)(x²-x)
après en étudiant le signe du trinome puisque e^(-x) est toujours positive j'obtiens que g(x)-f(x) est positif sur [0;+infini [ donc g est au dessus de f .
est-xce que c'est cela ?
par Joker62 » 30 Déc 2012, 13:11
x^2 - x = x(x-1)
Il y a un changement de signe après 1 normalement.
Il y a un changement de signe après 1 normalement.
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 13:17
ah oui !
donc entre 0 et 1 f est au dessus de g
et entre 1 et + l'infini g est au dessus de f
d'apres le tableau de signe
donc entre 0 et 1 f est au dessus de g
et entre 1 et + l'infini g est au dessus de f
d'apres le tableau de signe
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 13:21
avant 0 g est au dessus de f
mais je pense qu'il n'est pas utile de le preciser puisque ce n'est pas compris dans l'ensemble de défition des fonctions non ?
mais je pense qu'il n'est pas utile de le preciser puisque ce n'est pas compris dans l'ensemble de défition des fonctions non ?
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 15:43
Ok donc pour l'exercice 1 je pense que c'est OK :we:
Maintenant l'exercice 2 ...
Maintenant l'exercice 2 ...
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 16:42
Je reste vraiment bloquée à partir de la question 2 de la partie B
Je ne sais pas comment résoudre l'équation
:triste:
Je ne sais pas comment résoudre l'équation
:triste:
par Joker62 » 30 Déc 2012, 16:46
Re !
On te demande pas de résoudre l'équation.
Tu as trouvé l'équation de la tangente ?
On note (T_a) : y = mx + p
avec m qui dépend de a et p également.
Quelle est la condition pour que cette tangente passe par l'origine ? C'est à dire par le point (0,0) ?
On te demande pas de résoudre l'équation.
Tu as trouvé l'équation de la tangente ?
On note (T_a) : y = mx + p
avec m qui dépend de a et p également.
Quelle est la condition pour que cette tangente passe par l'origine ? C'est à dire par le point (0,0) ?
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 16:51
Re !!!!
Pour l'équation j'avais trouvé y=(a+1)e^(a-1))(x-a)+(ae^(a-1)+1)
et la condition pour que ça passe par l'origine est que cette équation soit égale à 0 non ?
Pour l'équation j'avais trouvé y=(a+1)e^(a-1))(x-a)+(ae^(a-1)+1)
et la condition pour que ça passe par l'origine est que cette équation soit égale à 0 non ?
par Joker62 » 30 Déc 2012, 16:53
Non.
Je te conseille d'écrire ta tangente sous la forme d'une équation réduite du type y = mx + p
On arrive mieux à identifier après ça.
On rappelle qu'un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.
Par exemple pour (d) : y = 3x + p. Alors le point A(2;3) appartient à (d) si et seulement si on a
3 = 3*2 + p <=> p = -3
Il faut faire pareil avec la tangente et le point (0,0)
Je te conseille d'écrire ta tangente sous la forme d'une équation réduite du type y = mx + p
On arrive mieux à identifier après ça.
On rappelle qu'un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.
Par exemple pour (d) : y = 3x + p. Alors le point A(2;3) appartient à (d) si et seulement si on a
3 = 3*2 + p <=> p = -3
Il faut faire pareil avec la tangente et le point (0,0)
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 17:01
Ok je suis d'accord pour dire ça
mais dans notre cas, comment peut on l'appliquer ?
on veut que la tangente passe par l'origine (0,0) donc on aurait m*0+p=0 ?
mais dans notre cas, comment peut on l'appliquer ?
on veut que la tangente passe par l'origine (0,0) donc on aurait m*0+p=0 ?
par Joker62 » 30 Déc 2012, 17:03
Et si !
La tangente passe par l'origine seulement si l'ordonnée à l'origine = 0 (Surprenant ? ça s'appelle une fonction linéaire :D)
Il faut donc bien calculer l'ordonnée à l'origine de la tangente !
La tangente passe par l'origine seulement si l'ordonnée à l'origine = 0 (Surprenant ? ça s'appelle une fonction linéaire :D)
Il faut donc bien calculer l'ordonnée à l'origine de la tangente !
par supergrjuju » 30 Déc 2012, 17:07
donc ici on trouverait l'ordonnée à l'origine =0 je suis d'accord
mais il faut démontrer l'égalité 1-x²e^(x-1)=0 d'après la question ...
mais il faut démontrer l'égalité 1-x²e^(x-1)=0 d'après la question ...
par Joker62 » 30 Déc 2012, 17:15
La fonction est donc :  = xe^{x-1} + 1)
et sa dérivée est donc  = (x+1)e^{x-1})
La tangente à la courbe en un point d'abscisse
est donc
 : y = f'(a)(x-a) + f(a))
C'est à dire
 : y = (a+1)e^{a+1}(x-a) + ae^{a-1} + 1)
 : y = (a+1)e^{a+1}x - a(a+1)e^{a-1} + ae^{a-1} + 1)
 : y = ...x + ae^{a-1}(1-(a+1)) + 1)
 : y = ...x + 1 - a^2e^{a-1})
La tangente passe donc par l'origine si et seulement si on a :
La tangente à la courbe en un point d'abscisse
La tangente passe donc par l'origine si et seulement si on a :
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