Récurrence

[juiandu06]

Bonjour,

J'ai reçu un exercice où je n'ai pas très bien compris comment mener la démonstration.

Démontrer que : 0< Un < 1/n
Un+1 = f(Un)
f(x)=x*e^-x

e-->exponentielle

[leon1789]

combien vaut U_0 ?
combien vaut U_1 ?

[juiandu06]

Désolé , j'ai oublié de donner U1 = 1

[leon1789]

Donc tu as bien le résultat voulu pour l'entier n=1.

Pour faire une récurrence, il faut admettre que le résultat est vrai pour un entier , à savoir [TEX]0 1+t pour t>0 ?

[juiandu06]

Première question, il fallait donner le sens de variation de f, ce que j'ai fait, deuxième question il fallait étudier les variations d'une fonction g(x)=ext(x)-1-x et en déduire que : ext(x)>=1+x, ce que j'ai aussi fait.
c'est la suite ou je n'arrive pas.



PS:Je suis sur que je suis à passer à coté de la réponse mais que je pensais que c'était faux car c'était assez simple.

[leon1789]

Première question, il fallait donner le sens de variation de f, ce que j'ai fait, deuxième question il fallait étudier les variations d'une fonction g(x)=ext(x)-1-x et en déduire que : ext(x)>=1+x, ce que j'ai aussi fait.

Donc tu as tout pour faire l'hérédité de la récurrence :

on suppose que ,
on met un coup de f : car ....
d'où

Maintenant regarde

[Anonyme]

@ljuiandu06

on a

Pour démontrer l'hérédité :
il faut démontrer que pour un donné : si alors

si on a donc

car la fonction est décroissante et est positive sur IR et que si

et donc .....
à toi de conclure

[juiandu06]

Ok je vous remercie , leon1789 et ptitnoir, de m'avoir aider .
D'ailleurs j'ai l'impression de comprendre un peu mieux les récurrences en regardant bien.

Si j'ai un problème dans la dernière question, vous seriez disponible pour m'aider ?

[leon1789]

si on a donc

oui, mais ta majoration évidente est trop brutale pour conclure : comment passer de 1/n à 1/(n+1) ??

Je répète : si alors on a
il reste à montrer que . Et pour cela, on regarde la différence...

[Anonyme]

@leon1789

Oups !
c'est sûr que c'est trop brutal !
désolé pour l'erreur

[juiandu06]

@leon1789

Oups !
c'est sûr que c'est trop brutal !
désolé pour l'erreur

C'est pas grave, surtout que on me dis de détailler plus certain calcul/démonstration donc je comptais le faire apparaître à la manière de leon17890.

[leon1789]

A ton avis, pourquoi a-t-on besoin de savoir que la fonction f est décroissante sur [0,1] ?

[juiandu06]

A ton avis, pourquoi a-t-on besoin de savoir que la fonction f est décroissante sur [0,1] ?

Je vois seulement que la fonction est croissante c'est pour ça

[Anonyme]

Je vois seulement que la fonction est croissante c'est pour ça

Salut

Je réponds à la place de Léon pour essayer que tu comprennes : (Léon a écrit décroissante au lieu de croissante)

la fonction f est définie par f(x)=
Cette fonction est dérivable sur IR et on a

Cette fonction est donc croissante sur [0 , 1] car sur cet intervalle

Pourquoi est ce suffisant pour étudier cette suite ? :

On va démontrer par récurrence que pour tout n :
Comme
on a donc bien pour tout n :


Démo de la récurrence (phase hérédité)

Si alors car la fonction est croissante sur [0 ,1]

on a donc :

et on cherche à démontrer que

Et c'est le cas si on a pour tout :

@juiandu06
à toi de continuer ce raisonnement....

[Anonyme]

Je vois seulement que la fonction est croissante c'est pour ça

Salut

Je réponds à la place de Léon pour essayer que tu comprennes : (Léon a écrit décroissante au lieu de croissante)

la fonction f est définie par f(x)=
Cette fonction est dérivable sur IR et on a

Cette fonction est donc croissante sur [0 , 1] car sur cet intervalle

Pourquoi est ce suffisant pour étudier cette suite ? :

On va démontrer par récurrence que pour tout n :
Comme
on a donc bien pour tout n :


Démo de la récurrence (phase hérédité)

Si alors car la fonction est croissante sur [0 ,1]

on a donc :

et on cherche à démontrer que

Et c'est le cas si on a pour tout :

@juiandu06
à toi de continuer ce raisonnement....

[leon1789]

Je vois seulement que la fonction est croissante c'est pour ça

ah oui, depuis le début je confonds croissante et décroissante !! :mur: :mur: Désolé.
Je disais "décroissante", mais je pensais "croissante" pour que implique

[juiandu06]

Pour la suite : montrer par récurrence que Un+1=exp(-Sn)
............k=n
avec Sn= ;) Uk
............k=1

Est ce que c'est juste de cette manière ?

P est vraie avec deux exemples
on suppose que Un+1 = exp(-Sn)
On veut démontrer que Un+2 = exp(-Sn+1)
Un+2 = f(Un+1)=Un+1*exp(-Un+1)
=exp(-Sn)*exp(-Un+1)
..................k=n............k=n+1
Or Sn+Un+1= ;) Uk+Un+1 = ;) = Sn+1
..................k=1............k=1
donc Un+2 = exp(-Sn+1)

[leon1789]

C'est une preuve correcte de l'hérédité (dans la récurrence), mais il manque l'initialisation de la récurrence.

[juiandu06]

C'est une preuve correcte de l'hérédité (dans la récurrence), mais il manque l'initialisation de la récurrence.

En donnant S1,S2 et S3 , et en déduisant que la propriété est vrai c'est bon ?
en rajoutant on suppose que ...
et on cherche à démontrer que ...

[juiandu06]

Juste encore un truc, cette suite Sn elle tend vers quoi ?