Exponenielle

par **mathsenpoche** » 12 Déc 2012, 16:50

Bonjour a tous alors voila je suis nouveau sur le site et j'ai besoin de votre aide
j'ai la fonction f(x)=e^x/e^x+1 et on me dit que la suite U0=0 et Un+1=f(Un) il faut que je trouve l'existence d'un minorant et d'un majorant comment faire !!

par **titine** » 12 Déc 2012, 17:07

Est ce f(x)=e^x/(e^x+1) ou f(x)=e^x/e^(x+1) ou f(x)=e^x/e^x + 1 ?
Je ne pense pas que ce soit le dernier car ça ferait f(x)=1+1 = 2 fonction constante

par **mathsenpoche** » 12 Déc 2012, 17:49

en effet j'ai mal placer mes parenthésé il s'agit d la première
f(x)=((e^x)/(e^x)+1)

par **mathsenpoche** » 12 Déc 2012, 18:01

quelqu'un peux m'aider !!

par **titine** » 13 Déc 2012, 10:45

Pour tout x, (e^x)/(e^x+1) est strictement positif (car e^x > 0 et e^x + 1 > 0)
Donc U0 = 0 et pour tout n>=1 U(n+1) = f(u(n)) > 0
Donc la suite (Un) a un minorant : 0

D'autre part :
f(x) = (e^x)/(e^x+1) = 1/(1+e^(-x))
Et, pour tout x, e^(-x) > 0
Donc 1 + e^(-x) > 1
Donc 1/(1+e^(-x)) < 1
Donc f(x) < 1 pour tout x .
Par conséquent : pour tout n, U(n+1) = f(u(n)) < 1
Donc la suite (Un) a un majorant : 1

par **mathsenpoche** » 13 Déc 2012, 18:59

C'est bon pour ca mais maintenant je dois montrer que cette suite et borné et je suis bloque !

par **titine** » 13 Déc 2012, 19:17

mathsenpoche a écrit:C'est bon pour ca mais maintenant je dois montrer que cette suite et borné et je suis bloque !

Elle est minorée et majorée donc elle est bornée !

par **mathsenpoche** » 13 Déc 2012, 19:22

Ah bah je suis bete !
et une derniere question comment demontrer le sens de variation ?

par **titine** » 13 Déc 2012, 19:42

mathsenpoche a écrit:Ah bah je suis bete !
et une derniere question comment demontrer le sens de variation ?

Le sens de variation de quoi ? De f ou de la suite ?

par **mathsenpoche** » 13 Déc 2012, 19:43

de la suite

par **titine** » 13 Déc 2012, 19:53

Il est facile de montrer que f est croissante (dérivée positive)

Ensuite, par récurrence :
On calcule U1 = 1/2
U0 < U1
f étant croissante : f(U0) < f(U1) c'est à dire U1 < U2
Et f(U1) < f(U2) c'est à dire U2 < U3
etc ....
A rédiger par récurrence :
Si on suppose U(n) < U(n+1) alors f(U(n)) < f(U(n+1)) donc U(n+1) < U(n+2)

A toi de rédiger ça correctement

par **mathsenpoche** » 13 Déc 2012, 19:55

Merci beaucoup titine !
juste un dernier truc il faut déterminer maintenat sa limite mais jai un probleme en +infini je devrai trouver 1 et je trouve +infini et en -infini je trouve infini
peux tu m'aider ou corriger ?

par **titine** » 13 Déc 2012, 20:02

Tu cherches les limites de f en + et - inf ?

par **titine** » 13 Déc 2012, 20:18

f(x) = (e^x)/(e^x+1) = 1/(1+e^(-x))

en +inf : limite de -x = -inf donc lim(x tend vers +inf) e^(-x) = lim(X tend vers -inf) e^(X) = 0
Donc lim(x tend vers +inf) f = 1

en -inf : limite de -x = +inf donc lim(x tend vers -inf) e^(-x) = lim(X tend vers +inf) e^(X) = +inf
Donc lim(x tend vers +inf) f = 0

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