Sous algèbre des polynômes en u '' K[u] ''

[Don vito]

Salut,
Une base est une famille libre maximale mais la réciproque est elle vraie?
Toute famille libre maximale est une base??

En fait je voulais prouver que si u endomorphisme admet un polynôme minimal P tque degP=r , alors (idE,u...u^(r-1)) est une base de la la sous algèbre des polynômes en u K[u] .
on a (idE,u...u^(r-1)) est libre maximale suffisant ou faudrait il inévitablement montrer qu'elle est génératrice ?comment montrer qu'elle est génératrice? J'ai entendu dire que c'est un résultat généralisable pour toute sous algèbre engendrée par un élément comment?

Merci de bien vouloir répondre à ces questions

[XENSECP]

Si maximale induit de dimension = à la dimension de l'espace je dis oui

[arnaud32]

quelle est la definition d'une base?
d'une famille maximale?

[Don vito]

Tout à fait d'accords XENSECP je vois ce que tu veux dire, ce qui signifie aussi qu'on ne peut rien conclure dans le cas général.
Si je comprends bien Arnaud32 tu voudrais en venir, à partir de ta question, au fait qu'il est indispensable de montrer que la famille soit ou bien génératrice ou bien qu'on est la dimension de l'espace en question?

Sinon pour une famille libre maximale ; elle n'est pas sous famille d'une famille libre, la concaténation de cette famille et d'un quelconque autre vecteur est une famille liée.

Ps: j'ai modifié mon premier post (pour mieux expliciter mes questions )

Merci

[arnaud32]

une famille libre et maximale est generatrice.

[Ilthiliora]

Salut,
Une base est une famille libre maximale mais la réciproque est elle vraie?
Toute famille libre maximale est une base??

L'équivalence provient de la définition d'une base. A ce propos, le théorème de la base incomplète utile à maîtriser est axé sur l'axiome du choix pouvant se passer de l'alternative du lemme de Zorn (algorithmique efficace oblige; voir le déroulement des démonstrations).

[Ilthiliora]

Salut,
Une base est une famille libre maximale mais la réciproque est elle vraie?
Toute famille libre maximale est une base??

L'équivalence provient de la définition d'une base. A ce propos, le théorème de la base incomplète utile à maîtriser est axé sur l'axiome du choix pouvant se passer du lemme de Zorn (algorithmique efficace oblige; voir le déroulement des démonstrations dans les liens référencés et s'entraîner à les refaire proprement).