Serie de puissance pour Y" +XY = 0 ?

[Adoniram]

Bonjour amis matheux?

Que pensez vous de cette equation?

Y" +XY = 0

Quand j'essaye par les DL, je me retrouve avec un X^n+1 dont je ne sais pas me debarrasser...
Quelle est la methode a utiliser?
Merci

[DamX]

Bonjour amis matheux?

Que pensez vous de cette equation?

Y" +XY = 0

Quand j'essaye par les DL, je me retrouve avec un X^n+1 dont je ne sais pas me debarrasser...
Quelle est la methode a utiliser?
Merci

C'est une équation différentielle ?
Si oui j'en pense que la solution n'est pas triviale à en croire mon ami wolfram : http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%27%27%28x%29%2Bxf%28x%29%3D0&x=0&y=0

Damien

[Adoniram]

Aaaaah ben merci, je jette un coup d'oeil

[Adoniram]

Bon, y a t'il une méthodologie appropriée?

[DamX]

Bon, y a t'il une méthodologie appropriée?

Une méthodologie pour ? Résoudre analytiquement cette équation ? Je ne pense pas non. Surtout vu la tête de la solution, dont les fonctions composantes sont probablement définies par une équation de ce type. Il n'y a pas à priori de solution sous forme de fonctions usuelles.

[Adoniram]

Une question, a quoi correspond sur Wolfram Ai et Bi ? je n'arrive pas a saisir...

[DamX]

Bon, y a t'il une méthodologie appropriée?

Ah tu veux trouver une série entière qui est solution ? Désolé je croyais que tu voulais une solution analytique.

Alors oui dans ce cas, si tu écris sous la forme y(x) = somme (a_k x^k) pour k de 0 à l'infini, et tu veux trouver les coefficients a_k.

Dans ce cas tu utilises les règles de dérivation des séries entières, et tu regroupes tout ensuite dans la Meme somme et tu vas donc annuler tous les coefficients.

Et si je ne dis pas de bêtises, tu obtiens :

a_2 = 0
et pour tout k >= 1, a_(k+2) = -a_(k-1) / [(k+1)(k+2)]
que tu résouts ensuite.

C'est Ca que tu cherches ? Je pourrai détailler si tu le souhaites.
Damien

[DamX]

Une question, a quoi correspond sur Wolfram Ai et Bi ? je n'arrive pas a saisir...

Ai et Bi sont des fonctions "exotiques". Souvent en maths en analyse lorsqu'on se retrouve face à des expressions/équations que l'on ne peut pas résoudre au moyen de fonctions usuelles, on définit des nouvelles fonctions comme étant justement la solution de ces équations, on les étudie numériquement, voire on leur trouve des propriétés analytiques annexes, et ensuite on peut s'en servir comme si c'était des fonctions usuelles pour la résolution d'autres problèmes. Je ne connais pas particulièrement es deux là mais tu as plein de fonctions qui suivent ce schéma : Error fonction, Gamma, N, etc...

[JeanJ]

Bonjour,

il a déjà été dit que les solutions sont les fonctions d'Airy.
Plutôt que le terme de "fonction exotique" employé par Adoniram, il est préférable de dire "fonction spéciale" qui est le terme consacré. "Exotique" est employé dans des cas beaucoup plus exotiques que cela !
Les fonctions d'Airy sont bien connues à un certain niveau de l'enseignement des maths. Quelques propriétés dans : http://mathworld.wolfram.com/AiryFunctions.html
Plus généralement, un article de vulgarisation sur les fonctions spéciales : "Safari au pays des fonctions spéciales" par le lien : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[Sylviel]

A ma connaissance les fonctions d'Airy, et les fonctions spéciales en générale, sont plus connues des physisciens et de certains mathématiciens proche d'eux que des matheux en général...

Enfin c'est mon impression du moins.

[JeanJ]

A ma connaissance les fonctions d'Airy, et les fonctions spéciales en générale, sont plus connues des physisciens et de certains mathématiciens proche d'eux que des matheux en général...

Enfin c'est mon impression du moins.

Ce n'est pas faux ! La période de gloire des fonctions spéciales est passée depuis longtemps. Certes, de nos jours, ce n'est pas un sujet à la mode !

[Adoniram]

Cependant je reste avec un problème...
Les coefficients ne s'annulent pas... Mais sinon, oui oui c'est cela que je cherche

je me retrouve avec X.Somme (de n=o, a inf) anX^n + Somme (de n=2, a inf) de n(n-1)an.X^n-2
Ce qui donne : Somme (de n=o, a inf) anX^n+1 + (n+2)(n+1)an+2.X^n
et c'est ce dernier facteur mon pb ! Puisque c'est X.f(x), quand j’homogénéise les "n", je me retrouve avec un X élevé a n+1... Alors que je voulais un X^n...
C'est sans doute simple... mais je n'arrive pas a voir...

Dans tous les cas, merci pour le coup de main et pour le temps passé

Alors oui dans ce cas, si tu écris sous la forme y(x) = somme (a_k x^k) pour k de 0 à l'infini, et tu veux trouver les coefficients a_k.

Dans ce cas tu utilises les règles de dérivation des séries entières, et tu regroupes tout ensuite dans la Meme somme et tu vas donc annuler tous les coefficients.

Et si je ne dis pas de bêtises, tu obtiens :

a_2 = 0
et pour tout k >= 1, a_(k+2) = -a_(k-1) / [(k+1)(k+2)]
que tu résouts ensuite.

C'est Ca que tu cherches ? Je pourrai détailler si tu le souhaites.
Damien

[DamX]

Cependant je reste avec un problème...
Les coefficients ne s'annulent pas... Mais sinon, oui oui c'est cela que je cherche

je me retrouve avec X.Somme (de n=o, a inf) anX^n + Somme (de n=2, a inf) de n(n-1)an.X^n-2
Ce qui donne : Somme (de n=o, a inf) anX^n+1 + (n+2)(n+1)an+2.X^n
et c'est ce dernier facteur mon pb ! Puisque c'est X.f(x), quand j’homogénéise les "n", je me retrouve avec un X élevé a n+1... Alors que je voulais un X^n...
C'est sans doute simple... mais je n'arrive pas a voir...

Dans tous les cas, merci pour le coup de main et pour le temps passé

Il faut faire avec le terme en X^(n+1) la même manipulation que celle que tu as faite avec le X^(n-2) : décaler les indices (en faisant attention aux bornes), mais dans l'autres sens, Ca va te donner du a(n-1)X^n et tout est alors en X^n, tu peux annuler les termes devant pour retomber sur l'équation que je t'avais écrite au début (et faire attention aux indices qui ne sont présents que dans une des deux sommes).

Damien

[Adoniram]

Bon bon bon, du coup, j'ai
Somme(1 a inf) a(n-1)X^n + 2a(2) + Somme(1 a inf) (n+1)(n+2)a(n+2)X^n =0
Ce qui donne
2a2=0 & a(n+2) = a(n-1)/(n+1)(n+2)
(obligé n'est ce pas le 2a2= 0 n'est ce pas?)

D'ou
a(3k)= ao/Produit(p=0 a k) 3p.(3p-1)
a(3k+1) = a1/Produit(p=0 a k) 3p.(3p+1)
a(3k+2) = a2/Produit(p=0 a k) (3p+2).(3p+1)
(ca correspond a quelque chose ces produits ou il faut les laisser tels quels?)

Au final f(x)= somme (1 a inf) (ao/Produit(p=0 a k) ( 3p.(3p-1) + a1/Produit(p=0 a k) 3p.(3p+1) + a2/Produit(p=0 a k) (3p+2).(3p+1)) X^p


Jusque la tout va bien ? :marteau:

Il faut faire avec le terme en X^(n+1) la même manipulation que celle que tu as faite avec le X^(n-2) : décaler les indices (en faisant attention aux bornes), mais dans l'autres sens, Ca va te donner du a(n-1)X^n et tout est alors en X^n, tu peux annuler les termes devant pour retomber sur l'équation que je t'avais écrite au début (et faire attention aux indices qui ne sont présents que dans une des deux sommes).

Damien