Demontrer un encadrement

[neosame]

Bonjour a tous comme le titre l'indique je cherche donc a démontrer un encadrement dans un DM je vous donne l’énoncer puis mes idées :

Démontrer que pour tout x € ]0;pi/2[, on a :
sin(x) <= x <= tan(x)
ps le signe <= veut dire inférieur ou égal

Donc je pensais couper l'encadrement en 2 puis deriver pour avoir en 1er : cos(x) - 1 <= 0 et comme cos x est a valeur dans [0;1] la derivé serait donc negative et donc la fonction sin (x) decroissante je ferais donc pareil pour le 2eme morceau (x <= tan(x)) mais cela suffit t il a prouver cet encadrement ?
Merci d'avance pour vos reponses. Un etudiant en prepa TSI

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour a tous comme le titre l'indique je cherche donc a démontrer un encadrement dans un DM je vous donne l’énoncer puis mes idées :

Démontrer que pour tout x € ]0;pi/2[, on a :
sin(x) <= x <= tan(x)
ps le signe <= veut dire inférieur ou égal

Donc je pensais couper l'encadrement en 2 puis deriver pour avoir en 1er : cos(x) - 1 <= 0 et comme cos x est a valeur dans [0;1] la derivé serait donc negative et donc la fonction sin (x) decroissante je ferais donc pareil pour le 2eme morceau (x <= tan(x)) mais cela suffit t il a prouver cet encadrement ?
Merci d'avance pour vos reponses. Un etudiant en prepa TSI

Salut !
Si tu y arrives, je pense que cela suffit largement à prouver cette inégalité Pas besoin de chercher des astuces, utilise les outils (performants) dont tu disposes déjà.

[neosame]

Salut !
Si tu y arrives, je pense que cela suffit largement à prouver cette inégalité Pas besoin de chercher des astuces, utilise les outils (performants) dont tu disposes déjà.

Ah ba nickel alors sa fait déjà un exo de fait sinon je sèche aussi sur une question du 2eme si tu pouvais m'aider sa serait super cool =).

on a une équation : (4X^3)+(2x^3)-3X-1 = (X+1)(aX^2 + bX+c)

1) trouver a, b et c // bon sa c'est tranquille

2) exprimer cos 3x en fonction de cos x // je pense utiliser moivre

3) donner une égalité liant cos (2pi/5) ert cos (3pi/5) // je ne vois pas du tout comment procéder

4 calculer la valeur de cos (pi /5 ) // en me creusant la tete je trouverais bien une difference ou somme

[Kikoo <3 Bieber]

Ah ba nickel alors sa fait déjà un exo de fait sinon je sèche aussi sur une question du 2eme si tu pouvais m'aider sa serait super cool =).

on a une équation : (4X^3)+(2x^3)-3X-1 = (X+1)(aX^2 + bX+c)

1) trouver a, b et c // bon sa c'est tranquille

2) exprimer cos 3x en fonction de cos x // je pense utiliser moivre

3) donner une égalité liant cos (2pi/5) ert cos (3pi/5) // je ne vois pas du tout comment procéder

4 calculer la valeur de cos (pi /5 ) // en me creusant la tete je trouverais bien une difference ou somme

1) Cool si t'y arrives
2) Moivre ne sert pas ici. Moivre c'est pour linéariser des puissances de cosinus et de sinus en des cos(kx), sin(kx), ...
Regarde plutôt du côté des formules d'addition : cos(a+b)=...; cos(a-b)=...; ...
3) Inspire-toi de la question précédente.
4) Inspire-toi de la question précédente !

Dsl de pas être très clair mais je viens de sortir d'un DS de physique et j'ai la tête dans le fi** ^^

[neosame]

1) Cool si t'y arrives
2) Moivre ne sert pas ici. Moivre c'est pour linéariser des puissances de cosinus et de sinus en des cos(kx), sin(kx), ...
Regarde plutôt du côté des formules d'addition : cos(a+b)=...; cos(a-b)=...; ...
3) Inspire-toi de la question précédente.
4) Inspire-toi de la question précédente !

Dsl de pas être très clair mais je viens de sortir d'un DS de physique et j'ai la tête dans le fi** ^^

non non c'est nickel donc enfaite faudrait plutôt faire cos(x+x+x) selon toi ?

[Kikoo <3 Bieber]

non non c'est nickel donc enfaite faudrait plutôt faire cos(x+x+x) selon toi ?

Non, c'est chiant cos(x+x+x).
Pourquoi pas plutôt cos(2x+x) ?

[neosame]

Non, c'est chiant cos(x+x+x).
Pourquoi pas plutôt cos(2x+x) ?

oui c'est sur merci de ton aide je vais mettre tout sa par écrit =) et moi aussi je sors d'un DS de 3h00 de physique .

[Luc]

Salut,

2) On peut bien utiliser Moivre ici. Si on a du cos(kx) on peut l'exprimer en fonction de cos(x), en passant Moivre à la partie réelle (et en utilisant sin(x)^2=1-cos(x)^2). Réciproquement, si on a un polynôme en cos(x) on peut le linéariser, mais on utilise plutôt pour cela les formules d'Euler (cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2).

Pour info, le fait que cos(3x) s'exprime comme un polynôme en cos(x) n'est pas magique, cela est vrai pour cos(nx) avec n n'importe quel entier, on appelle ces polynômes les polynômes de Chebychev.

3) Tu peux peut être écrire que 3*2pi/5=2*3pi/5 (je ne sais pas si ça va aboutir cependant)

4) Formules d'addition.

Je n'aime pas trop la méthode utilisée dans cet exercice pour calculer cos(2pi/5) (=l'abscisse du premier sommet d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique), je trouve plus simple de partir de l'équation que vérifient les racines 5-ièmes de l'unité et d'aboutir à une équation du second degré en passant à la partie réelle.

Bon courage!

[neosame]

Salut,

2) On peut bien utiliser Moivre ici. Si on a du cos(kx) on peut l'exprimer en fonction de cos(x), en passant Moivre à la partie réelle (et en utilisant sin(x)^2=1-cos(x)^2). Réciproquement, si on a un polynôme en cos(x) on peut le linéariser, mais on utilise plutôt pour cela les formules d'Euler (cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2).

Pour info, le fait que cos(3x) s'exprime comme un polynôme en cos(x) n'est pas magique, cela est vrai pour cos(nx) avec n n'importe quel entier, on appelle ces polynômes les polynômes de Chebychev.

3) Tu peux peut être écrire que 3*2pi/5=2*3pi/5 (je ne sais pas si ça va aboutir cependant)

4) Formules d'addition.

Je n'aime pas trop la méthode utilisée dans cet exercice pour calculer cos(2pi/5) (=l'abscisse du premier sommet d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique), je trouve plus simple de partir de l'équation que vérifient les racines 5-ièmes de l'unité et d'aboutir à une équation du second degré en passant à la partie réelle.

Bon courage!

Salut Luc j'aime ta technique en passant par les racines 5ieme pourrait tu développer un peu plus ton idée ? sinon je viens de terminer le 2) et je trouve 4cos^3x - 3cosx mais je ne suis pas sur du résultat pourrait tu le valider ?