équation et multiple

[sophie_28]

Bonjour, voici un problème tiré d'un livre d'annales:

énoncé:
soit ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10 (a, b et c sont des chiffres).
montrer que si 7 est un diviseur commun à ces deux entiers naturels, alors 7 divise également le nombre ca.

ma réponse: (on se moque pas)
ab et bc doivent être deux multiples de 7:
ab = 14 (2 x 7)
bc = 42 (6 x 7)
et donc:
ca = 21 qui est multiple de 7 (3 x 7)
(fonctionne aussi avec un autre test)

la réponse du livre:
Soient ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10.
on a donc ab = 10 a + b et bc = 10 b + c.
Si 10 a + b = 7 k, k entier naturel
et 10 b + c = 7k', k' entier naturel
alors 10 c + a = 10 (7 k' - 10 b) + a
= 70 k' - 100 b + a
= 70 k' - 100 (7 k - 10 a) + a
= 70 k' - 700k + 1000 a + a
= 70 k ' - 700 k + 1001 a
Or 1001 = 7 x 143
Donc 10 c + a = 7 (10 k' - 100 k + 143 a).
Donc le nombre ca est multiple de 7.

Voilà, je comprends pas à partir de l'équation en gras...

[Peacekeeper]

Bonjour, voici un problème tiré d'un livre d'annales:

énoncé:
soit ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10 (a, b et c sont des chiffres).
montrer que si 7 est un diviseur commun à ces deux entiers naturels, alors 7 divise également le nombre ca.

ma réponse: (on se moque pas)
ab et bc doivent être deux multiples de 7:
ab = 14 (2 x 7)
bc = 42 (6 x 7)
et donc:
ca = 21 qui est multiple de 7 (3 x 7)
(fonctionne aussi avec un autre test)

la réponse du livre:
Soient ab et bc deux entiers naturels écrits en base 10.
on a donc ab = 10 a + b et bc = 10 b + c.
Si 10 a + b = 7 k, k entier naturel
et 10 b + c = 7k', k' entier naturel
alors 10 c + a = 10 (7 k' - 10 b) + a
= 70 k' - 100 b + a
= 70 k' - 100 (7 k - 10 a) + a
= 70 k' - 700k + 1000 a + a
= 70 k ' - 700 k + 1001 a
Or 1001 = 7 x 143
Donc 10 c + a = 7 (10 k' - 100 k + 143 a).
Donc le nombre ca est multiple de 7.

Voilà, je comprends pas à partir de l'équation en gras...

Bonsoir,

Pour obtenir l'équation en gras ils ont remplacé c par son expression à partir de 10b+c=7k', soit c=7k'-10b.
Ensuite ils ont développé l'expression obtenue puis ont remplacé b par son expression à partir de 10a+b=7k, soit b=7k-10a.
Rebelote, ils ont redéveloppé puis simplifié l'expression obtenue. Enfin, ils ont fait apparaître 7 en facteur commun, et donc mis 7 en facteur, ce qui démontre que 10c+a est multiple de 7. :happy3:

D'ailleurs, ta réponse est juste mais comme tu l'as dit ça marche aussi avec un autre test, il s'agit donc d'un exemple qui peut illustrer la démonstration, mais ce n'est pas une démonstration à proprement parler. :lol3:

[sophie_28]

Merci pour cette explication, leur démonstration est très rapide et ce n'est pas facile de repérer ce qui est remplacé..
Pourquoi on se s'intéresse pas au a dans ce développement?
Est ce qu'il y a une méthode générale pour les démonstrations de ce type? car moi je ne saurais pas en refaire une de la sorte par moi même ... :/

[Peacekeeper]

Remplacer le a par son expression n'aurait pas grand intérêt puisque cela réintroduirait du b et c dans l'expression, alors qu'on a cherché à s'en débarrasser. De plus, on a obtenu ce qu'on voulait: écrire ca sous la forme 7k, pas besoin de cherche plus loin.

Une méthode générale est difficile à déterminer car ce genre de problème n'est pas vraiment spécifique, mais ce qu'il faut c'est savoir ce qu'on veut obtenir et ne pas le perdre de vue (ici, écrire ca sous forme 7k). Puis ensuite, partir de ce qui est établi pour y arriver en bidouillant. Il peut être utile aussi de partir de ce qu'on veut obtenir pour remonter à ce qu'on a (puis parcourir le chemin dans l'autre sens pour mettre la démonstration sur pied). :happy3: