Cardinaux.

[eratos]

Je perd un peu le nord, si v'pouvez m'aider. :zen:

donc en fait on a X, Y, Z des ensembles de cardinaux resp. x y et z.

Je veux montrer que (xy)z= x(yz) où xy=card(XxY) par définition.
En gros ça revient à montrer qu'il existe une application bijective de (XxY)xZ dans Xx(YxZ). (Car si deux ensembles ont le même cardinal, ils sont équipotent et donc il existe une bijection entre ces ensembles)
Si je prend une application toute conne comme f: ((a,b),c)-->(a,(b,c)) , est-ce une bijection?
Prenons (a,(b,c))=(o,(p,k)) Xx(YxZ). on a a=o et (b,c)=(p,k) donc (a,b,c)=(o,p,k). Par suite ((a,b),c)=((o,p),k) \in (XxY)xZ. Ca prouve l'injectivité.
la surjectivité est trivial (pour tout (a,(b,c)) il existe ((a,b),c), théorème du triangle amoureux :ptdr: ) . En définitive f est bijective, donc équipotence donc etc etc.

Est-ce que c'est juste, rigoureux comme raisonnement, ou c'est tiré par les cheveux? Si je veux prouver la surjectivité, c'est de manière analogue à l'injectivité?
(la rédac est catastrophique, mais c'est qu'un brouillon, si c'est ok j'aurais plus qu'à l'améliorer, tant qu'on comprend...)

[professeur plutonium]

Tu t'es un peu emmêlé les pinceaux parce que ce que tu fais ne prouve en rien l'injectivité de ta fonction f. En fait tu montre juste que f est bien une fonction ( à un élément de l'ensemble de départ f associe un unique élément de l'ensemble d'arrivée ).

(f est injective) <=> (f(x)=f(y) => x=y)

Dans ton cas on on peut procéder comme ça :
Soient ((a,b),c) et ((d,e),f) deux éléments de (xXy)Xz
f(((a,b),c))=f(((d,e),f)) => (a,(b,c))=(d,(e,f)) => a=d et b=e et c=f => ((a,b),c)=((d,e),f)
d'où f est bien injective.

Pour la surjectivité je te laisse faire mais f telle que tu l'as choisie est bien une bijection donc ce que tu cherches à démontrer est bien vrai.

NB : Si a et b sont des ensembles finis et qu'on note #a le cardinal de a et X le produit cartésien alors on a :
#(aXb)=(#a)(#b) et alors pas besoin de cherche de bijection.

[eratos]

NB : Si a et b sont des ensembles finis et qu'on note #a le cardinal de a et X le produit cartésien alors on a :
#(aXb)=(#a)(#b) et alors pas besoin de cherche de bijection.

Ma démonstration est un peu compliqué c'est vrai..(mais comme ça j'ai bien pigé tout les concepts) il n'y avait qu'à considérer les produits cartésiens, genre poser T=XxY et U=YxZ et le faire par étape à partir de la définition. :zen:

Après, je me demande un truc bidon. Toujours sur les cardinaux de produits cartésiens. 0x=0
Ca veut dire que #({}xX)=0 ou encore que {}xX={} où {} est l'ensemble vide. En fait on peut pas se dire tiens on va prendre un couple ( ,x) où il y a pas d'éléments pour la première coordonnée... (parce que du coup ce n'est pas un couple, il faut être deux pour formé un couple, et j'ai ma réponse).

[eratos]

Salut! j'ai une question. :we:

Donc voilà l'exo: On a G un groupe fini d'ordre pair. S={x G , x²=e et x different de e}
On a aussi une relation R definie sur G par:
xRy (y=x ou y=sym(x)) (sym(x) est l'élément symétrique de x)

a) montrer que R est une relation d'équivalence.
b) En DEDUIRE(?) que card(S) est impair.

a) symétrie et réflexivité sont claires. Pour la transitivité aussi, on aboutit à l'union de quatre propositions qui concordent avec la définition de transitivité.

b) C'est là où c'est plus dur.... j'ai cherché un truc à faire avec les indices (relation d'équivalence R, ensemble S, "en deduire" etc).
Si on fait le quotient de G/R, on trouve quoi? déjà on a pour classes tout les singleton {x} x de G, ensuite tout les ensembles {x, sym(x)} x de G. ça me fait card({{x}, x G}) = card(G)=card{{x, sym(x)}, x G}. G/R serait donc pair... :help:
S c'est l'ensemble des éléments de G qui sont leurs propres symétriques à part l'élément neutre. Qu'est-ce qu'on peut en faire?

Je vais un peu revoir mon cours sur les relations d'équivalence...