Série de fonctions

[Phoenix944]

Bonjour,

J'ai la série de fonction suivante :
avec .

On me demande d'étudier la convergence normale sur .

Peut-on écrire : ? Ce qui montrerait la convergence normale.

Et si on voulait montrer la convergence uniforme, pourrait-on écrire que :

Avec le reste.


Merci d'avance.

[chan79]

Bonjour,

J'ai la série de fonction suivante :
avec .

On me demande d'étudier la convergence normale sur .

Peut-on écrire : ? Ce qui montrerait la convergence normale.

Et si on voulait montrer la convergence uniforme, pourrait-on écrire que :

Avec le reste.


Merci d'avance.

salut
pour la convergence simple:

x étant fixé non nul
qui tend vers 0
on a la convergence simple vers la fonction nulle
pour la convergence uniforme, on peut montrer que , pour tout x

[Pianoo]

Bonjour,

Peut-on écrire : ?

Non.
Déjà il y a une puissance de x en trop et puis ta majoration, et pour être efficace ne doit pas dépendre de x.

Et si on voulait montrer la convergence uniforme, pourrait-on écrire que :

Avec le reste.

Tu confondrais pas avec les séries alternées, où effectivement on a une majoration du reste analogue ?
En tout cas si cette majoration est juste c'est pas du tout évident, il faut la démontrer, et là encore ton majorant dépend de x donc pas sûr que ça t'aide.

[Phoenix944]

Ok donc si ça dépend de x, on ne peut pas conclure.

En fait j'avais des problèmes à comprendre ça, mais en général quand on a ce genre de majoration c'est sur un intervalle du genre où on remplace le x par a.

[Pianoo]

Ok donc si ça dépend de x, on ne peut pas conclure.

Oui l'idée est de majorer par le terme d'une série convergente (typiquement du genre 1/n^2 ) et surtout qui ne contient plus de x.

En fait j'avais des problèmes à comprendre ça, mais en général quand on a ce genre de majoration c'est sur un intervalle du genre où on remplace le x par a.

Oui souvent on découpe suivant des intervalles [a,b] pour utiliser les bornes a et b.
Mais là, avec la majoration que tu as écrite et ton intervalle [-a, a] tu vas avoir quelques problèmes au voisinage de 0 ... :lol3:


Euh ... oui reprise de ce que je disais plus haut :
En fait ta majoration est fausse, ne cherche pas à la démontrer :lol3:
Par contre pour des séries alternées on a effectivement cette majoration du reste.

[Phoenix944]

Ok merci pour les infos !

Par contre, je suis presque sûr que pour montrer la convergence uniforme d'une série de fonction il faut montrer que le reste tend vers 0. Si ce que j'ai mis n'est pas juste je pense que l'idée reste la même.

[Pianoo]

Par contre, je suis presque sûr que pour montrer la convergence uniforme d'une série de fonction il faut montrer que le reste tend vers 0. Si ce que j'ai mis n'est pas juste je pense que l'idée reste la même.

Oui oui ça c'est juste !
C'est ta majoration du reste par qui est fausse.

[Phoenix944]

D'accord, cette majoration n'est vraie que dans le cas des séries alternées donc.

Merci pour l'aide et à bientôt :)

[Luc]

Hello,

pour étudier la convergence normale de la série de fonctions, il faut calculer le sup sur de (ici, on a de la chance, on peut) et regarder la convergence de la série . A priori elle n'est pas garantie (et effectivement ici ce n'est pas le cas, puisque le terme général de la série est ).

Pour la convergence uniforme, il faut déjà s'assurer de la convergence simple.
S'il y a CV simple, effectivement il faut étudier le sup du reste. Si tu penses qu'il va y avoir CV uniforme, tu vas chercher à majorer le sup du reste (surtout, de façon indépendante de x, d'où le nom d'uniforme) et montrer qu'il tend vers 0.
Si tu penses qu'il ne va pas y avoir CV uniforme, tu vas chercher à montrer que le sup du reste ne tend pas vers 0, par exemple en minorant la quantité et en montrant qu'elle ne tend pas vers 0. Ici on peut montrer que . Il n'y a donc pas convergence uniforme.
L'histoire de l'intervalle , cela montre la convergence uniforme sur tout compact (aussi appelée convergence locale uniforme).

Luc

Bonjour,

J'ai la série de fonction suivante :
avec .

On me demande d'étudier la convergence normale sur .

Peut-on écrire : ? Ce qui montrerait la convergence normale.

Et si on voulait montrer la convergence uniforme, pourrait-on écrire que :

Avec le reste.


Merci d'avance.

[chan79]

Bonjour,

J'ai la série de fonction suivante :
avec .

On me demande d'étudier la convergence normale sur .

Peut-on écrire : ? Ce qui montrerait la convergence normale.

Et si on voulait montrer la convergence uniforme, pourrait-on écrire que :

Avec le reste.


Merci d'avance.

Salut
juste une remarque
on peut montrer assez facilement que pour tout x,

[Phoenix944]

Compris ! Ca me sera utile pour mon exams de cet aprèm :p
Merci à vous.