Suites récurrentes

[nesquick75]

Salut à tous j'ai quelques difficultés à faire un exercice de suites récurrentes.

On considere la suite (un) par u0=a et un+1=un(2-un) ou a est un réel quelconque de l'intervalle )0;1).
Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle (0;1) par f(x)=x(2-x)
J'ai rencontré des difficultés pour les questions suivantes :
-Montrer que, pour tout réel x de (0;1), f(x)>=x
-Montrer que, pour tout entier naturel n, 0<=un<=1

Merci pour votre aide !

[titine]

Salut à tous j'ai quelques difficultés à faire un exercice de suites récurrentes.

On considere la suite (un) par u0=a et un+1=un(2-un) ou a est un réel quelconque de l'intervalle )0;1).
Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle (0;1) par f(x)=x(2-x)
J'ai rencontré des difficultés pour les questions suivantes :
-Montrer que, pour tout réel x de (0;1), f(x)>=x

Pour cela il suffit de montrer que f(x) - x est positif ou nul pour tout x de [0 ; 1] :
f(x) - x = x(2-x) - x = x - x² = x(1-x)
En étudiant le signe de x(1-x) à l'aide d'un tableau de signes tu verras facilement qu'entre 0 et 1 f(x) - x est bien positif.

-Montrer que, pour tout entier naturel n, 0<=un<=1

Je suppose qu'il faut le faire par récurrence en utilisant les propriétés de la fonction f.
Est ce qu'on t'as fait étudier f ? Qu'as tu trouvé ?

[nesquick75]

Ok merci pour ta première réponse.
En effet on m'a fait étudier f et j'ai trouvé f'(x)=-2x+2

[titine]

Ok merci pour ta première réponse.
En effet on m'a fait étudier f et j'ai trouvé f'(x)=-2x+2

Et donc tu as prouvé que sur [0 ; 1] f est croissante.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0<=un<=1 :
Initialisation : u0 est bien compris entre 0 et 1.
Hérédité : On suppose que 0<=un<=1
f étant croissante sur [0 ; 1], alors : f(0)<=f(un)<=f(1)
Or f(0) = 0, f(un) = u(n+1) et f(1) = 1
Donc : 0<=u(n+1)<=1
Conclusion : .............

[nesquick75]

Ok merci bien.
Maintenant on me dit jusqu'à la fin de l'exercice, a= 1/5
a) Donner les valeurs de u1 et u2 sous forme de fractions irréductibles.

[titine]

Ok merci bien.
Maintenant on me dit jusqu'à la fin de l'exercice, a= 1/5
a) Donner les valeurs de u1 et u2 sous forme de fractions irréductibles.

Bin ... où est le problème ?

On considere la suite (un) par u0=a et un+1=un(2-un)

u0=1/5
u1=u0(2-u0) = (1/5)*(2 - 1/5) = ............. (je te laisse faire le calcul !)
u2 = u1(2-u1) = ............