Suites de récurrentes linéaires d ordres 2

[lahou]

bonsoir
j ai un petit devoir faire mais j ai du mal a me lancer

le but de l exo est d apprendre une formule qui va me permettre de trouver une formule explicite pour les suites définies par une relation de recurrence de la forme
Un+2=aUn+1 +bUn
a et b sont 2 réel

jusque ça va pour moi voila ou sa se complique

soit Un une suite récurrente linéaire d ordre 2
1) soit q différant de 1 monter que si la suite géométrique de q^n vérifie la même relation de récurrence que (Un) alors q est solution de l équation de second degré
x²=ax+b appelée équation caractéristique

la j ai du mal a suivre se que je dois faire la raison pour la quel je suis venu demander de l aide pour éclairé cette question qui me semble un vrai mur lol :mur:

je vous remercier d avance pour votre aide

[Arnaud-29-31]

Bonsoir,

Eh bien si U est une suite géométrique de raison q, comme peut s'exprimer le terme général ?

[lahou]

je pense que
Un=U0*q^n

[Arnaud-29-31]

Oui et donc si Un vérifie la relation de récurrence, que peut-on dire ?

[lahou]

qu elle est vrai en Un+1

[lahou]

svp j ai besoin de votre aide

[Arnaud-29-31]

Bein tu as dis que donc si vérifie la relation de récurrence qu'est-ce que ca implique ?

[lahou]

a je crois avoir compris lol
je remplace q^n dans U(n+2)=aU(n+1)+bUn

si q^n est solution donc q^(n+2)=aq^(n+1)+bq^n
donc q^n(q²)=q^n(aq+b)

comme q non nul donc q^n non nul donc je peux smplifier par q^n et il me reste q²=aq+b
donc q est solution de x²=ax+b

vous pouvez me dire svp si c est ça
merci

[Arnaud-29-31]

Ca a l'air pas mal :)

[lahou]

héhé c est grace a vous
j ai aussi une autre question svp

on suppose que l équation possède une unique solutions q0
je dois démonter que
q0=a/2
mais j trouve pas comment

[Ben314]

Salut,
Si tu as déjà vu les équations du second degrés (Delta=... et tout le toutim), je te signale que
x²=ax+b, ben c'est une équation du second degré !!!

[lahou]

oui j ai fai ça en 1er

donc j aurai -x²+ax+b
delta egale a 0
car on me dit sur l énoncer que l équation admet une seul solution

x(-x+1)=-b/a
mais je vois pas comment je peux passé de ça a a/2

[Ben314]

Lorsqu'une équation du second degrés Ax²+Bx+C=0 (A non nul) admet une unique solution, cette solution est x=... (c.f. cours de première)

Indic : ici A=-1, B=a et C=b donc s'il y a une unique solution, c'est x=...=...

[lahou]

a oui j avais pas vu lol
donc j aurai x=-a/-2= a/2
parfois c est pas toujours évident quand on a le cerveau dans plusieurs cotés lol

j ai encore une autre question
dsl je sais que sa fait beaucoup mais vous etes les seul qui peuvent m aidé

on pose Vn=Un/q0 (la solution de l équation)

le but c est de démonter que Vn+2=(2Vn+1)-Vn
dans un 1er temps on me demande de déduire que la suite Vn est arithmétique
je sais que pour monter qu une suite est arithmétique je dois démonter que Un+1 - Un= un réel
mais la je vois pas comment :cry:

[Ben314]

Bon, dans cette partie de l'exo, on suppose donc que l'équation du second degrés
-x²+ax+b=0
n'admet qu'une seule solution q.
Cela signifie que q=(-a)/(2x-1)=a/2 et aussi que le discriminant a²-4x(-1)xb=a²+4b est nul, c'est à dire que b=-a²/4 ce qui signifie que la suite vérifie :
U(n+2) = aU(n+1) - (a²/4)Un (*)
Lorsque l'on te dit que, pour tout n, on pose Vn=Un/(q^n) (à mon avis, c'est plutôt ça que Vn=Un/qo...) cela signifie que Un=q^nVn et, comme c'est vrai "pour tout n", on a aussi
U(n+1)=q^(n+1)V(n+1) et U(n+2)=q^(n+2)V(n+2) donc la formule (*) signifie que :
q^(n+2)V(n+2)=aq^(n+1)V(n+1) - (a²/4)q^nVn
ce qui, en divisant par q^n donne :
q²V(n+2)=aqV(n+1) - (a²/4)Vn
puis en se rapellant qu'en fait q=a/2 on a :
(a²/4)V(n+2)=(a²/2)V(n+1) - (a²/4)Vn
qui, en multipliant par 4/a² donne :
V(n+2)=2V(n+1) - Vn
c'est à dire
V(n+2)-V(n+1)=V(n+1) - Vn
Montre (par récurrence) à l'aide de cette formule que, pour tout n, V(n+1)-Vn=V1-V0 (qui est "une constante", c'est à dire ne dépend pas de n) ce qui prouvera que la suite (Vn) est arithmétique.