Probas, Loi composées

[Invaders]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'un peu (beaucoup ^^ ) d'aide sur cet exercice de probabilités.

Soient et deux v.a indépendantes, définies sur le même espace et suivant la même loi géométrique de paramètre p, 0 < p < 1. On note q = 1 - p. On définit les v.a. U et V, en posant pour tout :

U() = min( ) et V() = max( ) - min( ) .

1) Soient k 1 et l 0.
Calculer P[{ = k} { = k + l}] et P[{ = k + l} { = k}].
En distinguant les cas l=0 et l 1, déterminer P[{U = k} {V = l }].

2) Montrer que U suit une loi géométrique, dont on donnera le paramètre.
Déterminer la loi de V et vérifier que pour l 1, P[{V = l} | {V 1}] = .
Les v.a. U et V sont-elles indépendantes?

Pour la 1) :
Comme et sont indépendantes, on peut écrire :
P[{ = k} { = k + l}] = P[{ = k}] * P[{ = k + l}] = * ?
De même pour l'autre :
P[{ = k + l} { = k}] = P[{ = k + l}] * P[{ = k}] = * ?

Mais je ne vois pas en quoi cela m'aide pour ce qui est demandé ensuite .. :hum:

Pour la 2) :
là je ne vois pas comment faire .. Si vous pouviez me mettre sur la piste, ça serait très gentil.

Merci d'avance pour vos réponses!

[arnaud32]

min(x1,x2)=u
max(x1,x2)=v+u

u=k ssi (x1=k et x2>x1) ou (x2=k et x1>x2)
ssi (x1=k et x2=v+k) ou (x2=k et x1=v+k)

etc ...

[Invaders]

min(x1,x2)=u
max(x1,x2)=v+u

u=k ssi (x1=k et x2>x1) ou (x2=k et x1>x2)
ssi (x1=k et x2=v+k) ou (x2=k et x1=v+k)

etc ...

Merci pour votre aide.

J'ai calculé ces deux là facilement :

Comme sont deux variables indépendantes, il suffit de faire le produit des probabilités.

De plus, j'ai calculé P(U = k) et j'obtiens :
P(U = k) =

Mais je ne vois pas comment déterminer ?

[arnaud32]

Merci pour votre aide.

J'ai calculé ces deux là facilement :

Comme sont deux variables indépendantes, il suffit de faire le produit des probabilités.

De plus, j'ai calculé P(U = k) et j'obtiens :
P(U = k) =

Mais je ne vois pas comment déterminer ?

pour l=0
tu as
u=k et v=l=0 ssi x1=x2=k
donc P(u=k et v=l=0) = P(x1=k et x2=k)

pour l>0
tu as
u=k et v=l ssi (x1=k et x2=l+k) ou (x2=k et x1=l+k)
comme (x1=k et x2=l+k) inter(x2=k et x1=l+k) C (l=0) donc
(x1=k et x2=l+k) inter (x2=k et x1=l+k) = vide

tu as P(u=k et v=l=0) = P(x1=k et x2=l+k) + P(x2=k et x1=l+k)

[Invaders]

pour l=0
tu as
u=k et v=l=0 ssi x1=x2=k
donc P(u=k et v=l=0) = P(x1=k et x2=k)

pour l>0
tu as
u=k et v=l ssi (x1=k et x2=l+k) ou (x2=k et x1=l+k)
comme (x1=k et x2=l+k) inter(x2=k et x1=l+k) C (l=0) donc
(x1=k et x2=l+k) inter (x2=k et x1=l+k) = vide

tu as P(u=k et v=l=0) = P(x1=k et x2=l+k) + P(x2=k et x1=l+k)

Pour l=0 je suis d'accord, mais pour l>0 la je ne comprends pas votre demarche, pourquoi regarder l'intersection?
Je pensais plutot pour l>0 :
p[{U = k} inter {V = l}] = P(x1=k et x2=l+k) union P(x2=k et x1=l+k)

Mais du coup je ne vois pas comment conclure..
Je devrais juste faire l'union des 2 cas? .. Et je ne comprends pas la votre "P(u=k et v=l=0) = P(x1=k et x2=l+k) + P(x2=k et x1=l+k)" ...

Encore merci pour votre aide .. Et desole si je vous semble un peu mauvais ^^' je n'aime pas specialement les probas