Fonction et suite

[zenetude]

Bonjour j'ai un exercice à faire mais je bloque à la partie B donc j’espère que vous allez pouvoir me donner un coup de main


A. f et g dont deux fonctions définies sur R par f (x) = x - ex et g(x) = (1- x)ex
Cf et Cg sont leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal (O, , ).
1. Etudiez les variations de f et g et dresser les tableaux de variations.
2. On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g. Attribuez à chaque fonction sa courbe.
3. Il semble que ces courbes aient un point commun A d'abscisse ;) et un seul. Pour le prouver, on considère la fonction h définie sur R par h(x)=f(x)-g(x).
a) Prouvez que h'(x)=1-g(x).
b) Étudiez les variations de h et déduisez-en qu'il existe un x unique. Donnez de a un encadrement d'amplitude 10-1.


B. On se propose dans cette partie d'exploiter les résultats de la partie A pour étudier la suite (Sn) définie pour tout entier n non nul, par :

Sn = 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n).

1. À l'aide d'une calculatrice, déterminer un encadrement de Sn d'amplitude
10;)3.
2. a. En utilisant le tableau de variations de la fonction g définie dans la partie A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[,
ex supérieur ou égal a 1/(1-x).
b. En déduire que, pour tout nombre entier k > ou = 2,
e^(1/k) inférieur ou égal k/(k-1), puis que,
pour tout nombre entier k >2,
1/k inf ou égal a ln(k/(k-1))
c. Pour tout entier naturel n>ou égal a 2 , calculer Sn;)(Sn;)1). En déduire que la suite (Sn) est décroissante.
3. Pour tout entier n > 20, on pose un = S20 ;) Sn.
a. Vérifier que pour tout entier n > 20, unsup ou égal a 0.
b. En utilisant le tableau de variations de la fonction f définie dans la partie
A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 1],
1+xinf ou égal a ex.
c. En déduire que pour tout nombre entier k >1,
(k+1)/k inf ou égal a e^(1/k)
puis que, ln((k+1)/k) inf ou égal a 1/k
d. Vérifier que, pour tout entier naturel n > 20,
un = ln (n/20) ;) (1/21 + ... + 1/n).
En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel
n > 20,
ln((n+1)/21) inf ou égal a 1/21 + ... + 1/n
e. En déduire que, pour tout entier naturel n > 20,
un inf ou égal a ln(21/20) - ln((n+1)/n)
puis que, pour tout entier naturel n > 20, un 0,049.


Aidez moi s'il vous plait, Merci
:help:

[Manny06]

Bonjour j'ai un exercice à faire mais je bloque à la partie B donc j’espère que vous allez pouvoir me donner un coup de main


A. f et g dont deux fonctions définies sur R par f (x) = x - ex et g(x) = (1- x)ex
Cf et Cg sont leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal (O, , ).
1. Etudiez les variations de f et g et dresser les tableaux de variations.
2. On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g. Attribuez à chaque fonction sa courbe.
3. Il semble que ces courbes aient un point commun A d'abscisse et un seul. Pour le prouver, on considère la fonction h définie sur R par h(x)=f(x)-g(x).
a) Prouvez que h'(x)=1-g(x).
b) Étudiez les variations de h et déduisez-en qu'il existe un x unique. Donnez de a un encadrement d'amplitude 10-1.


B. On se propose dans cette partie d'exploiter les résultats de la partie A pour étudier la suite (Sn) définie pour tout entier n non nul, par :

Sn = 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n).

1. À l'aide d'une calculatrice, déterminer un encadrement de Sn d'amplitude
10;)3.
2. a. En utilisant le tableau de variations de la fonction g définie dans la partie A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[,
ex supérieur ou égal a 1/(1-x).
b. En déduire que, pour tout nombre entier k2,
e^(1/k) inférieur ou égal k/(k-1), puis que,
pour tout nombre entier k >2,
1/k inf ou égal a ln(k/(k-1))
c. Pour tout entier naturel n>ou égal a 2 , calculer Sn;)(Sn;)1). En déduire que la suite (Sn) est décroissante.
3. Pour tout entier n > 20, on pose un = S20 Sn.
a. Vérifier que pour tout entier n > 20, unsup ou égal a 0.
b. En utilisant le tableau de variations de la fonction f définie dans la partie
A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 ; 1],
1+xinf ou égal a ex.
c. En déduire que pour tout nombre entier k >1,
(k+1)/k inf ou égal a e^(1/k)
puis que, ln((k+1)/k) inf ou égal a 1/k
d. Vérifier que, pour tout entier naturel n > 20,
un = ln (n/20) (1/21 + ... + 1/n).
En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel
n > 20,
ln((n+1)/21) inf ou égal a 1/21 + ... + 1/n
e. En déduire que, pour tout entier naturel n > 20,
un inf ou égal a ln(21/20) - ln((n+1)/n)
puis que, pour tout entier naturel n > 20, un 0,049.


Aidez moi s'il vous plait, Merci
:help:

donne nous tes premières recherches pour qu'on puisse corriger ou t'aider à démarrer

[zenetude]

donne nous tes premières recherches pour qu'on puisse corriger ou t'aider à démarrer

A.
1) f croissante sur ]-oo 0] et decroissante sur [o +oo[
g fait comme f
2) j'y suis arrivé
3) a. c'est bon
b. h croissante sur R, je prouve avec le TVI qu'il existe un x unique de a

B.
1) L'encadrement a la calculatrice je n'y arrive pas, je peut essayer de faire les limites en 1 et +oo ?
2) a. je ne vois pas le rapport entre e(x) et g(x) ici
b. j'ai réussi il faut remplacer x par 1/k (PS: erreur dans l'enoncer c'est pour k sup ou egal a 2 et non"k2")
c. si je fais Sn - S(n-1) je trouve 1/n - ln(n) + ln(n-1) mais j'en conclu pas que c'est < à 0 donc Sn décroissante

[Manny06]

A.
1) f croissante sur ]-oo 0] et decroissante sur [o +oo[
g fait comme f
2) j'y suis arrivé
3) a. c'est bon
b. h croissante sur R, je prouve avec le TVI qu'il existe un x unique de a

B.
1) L'encadrement a la calculatrice je n'y arrive pas, je peut essayer de faire les limites en 1 et +oo ?
2) a. je ne vois pas le rapport entre e(x) et g(x) ici
b. j'ai réussi il faut remplacer x par 1/k (PS: erreur dans l'enoncer c'est pour k sup ou egal a 2 et non"k2")
c. si je fais Sn - S(n-1) je trouve 1/n - ln(n) + ln(n-1) mais j'en conclu pas que c'est < à 0 donc Sn décroissante

je ne vois pas pour l'encadrement à la calculatrice si on n'a pas montré que Sn est decroissante
pour 2)a) g(x)=(1-x)e^x or sur ]0;1[ 0<g(x)<1 (Cf tableau de variations)

attention l'inégalité à montrer est e^x<1/x
ensuite tu appliques comme tu l'as dit à x=1/k
puis tu prends les logarithmes des 2 menbres

[zenetude]

je ne vois pas pour l'encadrement à la calculatrice si on n'a pas montré que Sn est decroissante
pour 2)a) g(x)=(1-x)e^x or sur ]0;1[ 0<g(x)<1 (Cf tableau de variations)

attention l'inégalité à montrer est e^x<1/x
ensuite tu appliques comme tu l'as dit à x=1/k
puis tu prends les logarithmes des 2 menbres

C'est bon pour 2.a et 2.b

Peut on m'aider pour la 2.c ?

[Manny06]

C'est bon pour 2.a et 2.b

Peut on m'aider pour la 2.c ?

pour le 2)c) tu prends x=1/k dans l'inégalité précédente
ensuite tu prends les logarithmes des 2 membres

[zenetude]

pour le 2)c) tu prends x=1/k dans l'inégalité précédente
ensuite tu prends les logarithmes des 2 membres

Je crois que vous repondez à la question 2) b. là

Voici la 2)c. Pour tout entier naturel n>ou égal a 2 , calculer Sn;)(Sn;)1). En déduire que la suite (Sn) est décroissante.

Quand je fait Sn-(Sn-1) je trouve 1/n - ln(n) + ln(n-1)

[Manny06]

Je crois que vous repondez à la question 2) b. là

Voici la 2)c. Pour tout entier naturel n>ou égal a 2 , calculer Sn;)(Sn;)1). En déduire que la suite (Sn) est décroissante.

Quand je fait Sn-(Sn-1) je trouve 1/n - ln(n) + ln(n-1)

dans la question 2)b) tu as montré
1/k<=ln(k/(k-1)) donc 1/k-ln(k/(k-1))<=0
remplace k par n

[zenetude]

Ok merci j'ai compris

[zenetude]

Peut on m'aider pour la question 4)

[zenetude]

Peut on m'aider pour la question 4)

On admet que lim(quand x tend vers +oo) Sn = C

a) Justifier que S20 - 0,049< ou = C < ou = S20.

b) Déduisez-en un encadrement de C d'amplitude 0,05.