Décomposition en éléments simples

[mitron]

Bonjour,
je cherche à décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante:

.

En décomposant , je trouve: puis j'ai multiplié par x, mais apparemment ce n'est pas bon car dans la correction, je suis censé trouver:



Quelqu'un peut m'aider? Merci.

PS: la décomposition en éléments simples n'est pas au programme PC/PCSI.

[Le_chat]

Bonjour,
je cherche à décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante:

.

En décomposant , je trouve: puis j'ai multiplié par x, mais apparemment ce n'est pas bon car dans la correction, je suis censé trouver:



Quelqu'un peut m'aider? Merci.

PS: la décomposition en éléments simples n'est pas au programme PC/PCSI.

Ben ouais mais quand tu vas multiplier par x, tu auras un x/3(1-x), qui n'est pas un élément simple (il est de degré 0).

[mitron]

Oui, mais alors comment fait-on pour parvenir à la relation ci-dessus?

[SaintAmand]

En décomposant , je trouve:

Ce n'est pas correct.

[mitron]

et je trouve a = 1/3, c = 2/3 et b = 0.

[SaintAmand]

et je trouve a = 1/3, c = 2/3 et b = 0.

[mitron]

Ah oui j'ai fais un erreur de calcul. Pour le premier terme, j'ai au numérateur: -x +2 avec b = -1/3.

Mais alors comment dois-je procéder pour avoir l'expression désirée?

[SaintAmand]

Ah oui j'ai fais un erreur de calcul. Pour le premier terme, j'ai au numérateur: -x +2 avec b = -1/3.

Mais alors comment dois-je procéder pour avoir l'expression désirée?

Ok pour a. Pour b et c, regarde la limite en +infini après avoir multiplié les membres par x, et la limite en 0.

[mitron]

J'ai beau refaire les calculs je trouve toujours b=-1/3 et c=2/3... mais le x au numérateur me pose problème.

[SaintAmand]

J'ai beau refaire les calculs je trouve toujours b=-1/3 et c=2/3... mais le x au numérateur me pose problème.

D'accord pour c. Pour b vérifie ton calcul, tu brûles.

[mitron]

b=1/3

mais pour le x, on fait comment?

[SaintAmand]

b=1/3

mais pour le x, on fait comment?

J'étais sur la décomposition de . Pour , tu peux employer les mêmes méthodes. Pour b tu poses x=0 et pour c tu prends la limite en +infini après avoir multiplié par x.

[mitron]

Vous pourriez détailler svp?
Quand je veux poser b=0, je n'ai plus le b puisque j'ai du bx²

[SaintAmand]

Vous pourriez détailler svp?
Quand je veux poser b=0, je n'ai plus le b puisque j'ai du bx²

Pose x=0 dans l'égalité précédentes; tu obtiens

Multiplie les deux membres par x et fais tendre x en +infini; tu obtiens

[mitron]

On a toujours:

= ?

Si on avait au numérateur 2, ou x, ou x², on aurait toujours cette décomposition?

Merci.

[SaintAmand]

On a toujours:
= ?

Oui.

Si on avait au numérateur 2, ou x, ou x², on aurait toujours cette décomposition?

Soit plus explicite. N'as-tu pas de livres sous la main ?

[mitron]

La décomposition en éléments simples n'est pas à mon programme, alors je me suis renseigné sur Internet.
Ce que je veux dire c'est que le terme au numérateur (réel, monôme en x/x² ou polynôme) ne change rien à la décomposition?

[SaintAmand]

La décomposition en éléments simples n'est pas à mon programme, alors je me suis renseigné sur Internet.

À la bibliothèque de ton lycée il doit surement y avoir les manuels d'Arnaudiès & Fraysse. Sinon http://stephane.gonnord.org/PCSI/Algebre/FRACTIONS.PDF

Ce que je veux dire c'est que le terme au numérateur (réel, monôme en x/x² ou polynôme) ne change rien à la décomposition?

Bien sur que si.

[mitron]

Si on a un x² au numérateur par exemple, on a toujours:

=

en gros, seuls a,b et c changent. Mais la décomposition reste la même?

[SaintAmand]

Si on a un x² au numérateur par exemple, on a toujours:

=

en gros, seuls a,b et c changent. Mais la décomposition reste la même?

Si la fraction est irréductible, la forme de la factorisation est déterminée par la factorisation en polynômes irréductibles du dénominateur. Évidemment le corps (R ou C généralement) a son importance. est un polynôme irréductible de R[X] mais pas de C[X].