Fin d'un problème d'algèbre

[benjilbos]

Salut . On a montré que t =ln2/ln10 était irrationnel. Montrer que le 1er chiffre de l'écriture décimale de 2^k vaut r,entier compris entre 1 et 9, ssi (lnr/ln10) < kt- E(kt) < ln(r+1)/ln10 ( les < sont larges) et en déduire qu'il existe une infinité de puissances de 2 commençant par r. Merci.

[Skullkid]

Salut, tout va consister à traduire mathématiquement "le premier chiffre de l'écriture décimale de l'entier n est égal à r". On peut donc chercher une formule mathématique qui donne, connaissant un entier n (strictement positif), la valeur de son premier chiffre. Vu que c'est pas forcément évident à trouver, essaye de voir ce que ça donne avec des exemples : quel calcul faire pour trouver le premier chiffre de 4251 ? Note également qu'il va probablement falloir utiliser la fonction partie entière dans tes calculs.

[benjilbos]

Bonjour. Justement pour traduire "le premier chiffre de l'écriture décimale de l'entier n est égal à r" j'ai pensé a E(n/10^(m-1)) avec m le nombre de chiffres du nombre? ex:451 . r= E(451/10^2)=4. je pense que c'est juste mais un peu trop compliqué et je ne vois pas le rapport avec la formule à prouver. Merci de ton aide.

[Doraki]

Dans la question précédente on t'a parlé d'un encadrement de kt-E(kt) = partie fractionnaire de ln(2^k)/ln(10).
Il faut donc montrer qu'il y a un lien entre le début de l'écriture de n en base 10 et g(n) = la partie fractionnaire de ln(n)/ln(10) = ln(n)/ln(10) - E(ln(n)/ln(10)).

Tu proposes donc de regarder la fonction f(n) = n/10^(m-1), où m est le nombre de chiffres de n. Clairement ça renvoit un nombre dans [1 ; 10[ et qui décrit par quoi commence le nombre en base 10.

Que vaut m en fonction de n ?

N'y aurait-il pas une relation simple entre ton f(n) et leur g(n) ?

[Skullkid]

Ta formule est juste, mais il reste à calculer le nombre de chiffres, pour avoir une formule uniquement en fonction de n. C'est là que la fonction ln va sortir.