Equations différentielles

[Clement13]

Bonjours , j'ai un gros problème avec les équations différentielles , je comprends pas du tout surtout l'exercice suivant ( qui est un dm donc j'aimerai plutôt qu'on m'explique plutôt que d'avoir la solution a l'exercice ) merci d'avance :

On considère les deux équations différentielles: (E):y'=y(4-y) et (F):z'=-4z+1
ou y et z sont des fonctions de x qui ne s'annule pas.
1)On pose z=1/y . Démontrer , en exprimant z' en fonction de y et y' , que z est solution de (F).
#Je sais pas s'il faut faire en fonction de y puis de y' ou les deux en même temps , chose que je n'arrive pas a trouver.
2)Résoudre l'équation (F) puis (E).
3)Déterminer la solution f de (E) telle que f(0)=1

[Ana_M]

si z= 1/y que vaut z' ?

[Clement13]

z'=-4(1/y)+1 mais dans la question il demande en fonction de y et y' ...?

[Ana_M]

Oui, mais z' tu en fais quoi ?z = 1/y
alors
dériver z revient à dériver 1/y
et c'est quoi la dérivée de 1/y ?

[Clement13]

la dérivée de 1/y et -1/y² mais j'ai pas compris le but de la premiere question je vois pas pourquoi utiliser une dérivée :/
...
-1/y²=-4*1/y +1 ...?

[Ana_M]

"la dérivée de 1/y et -1/y²"

non ! y est une fonction quelconque ici !
c'est quoi la dérivée de 1/u ?

[Clement13]

la dérivée est -y'/y² donc z'=-y'/y² ?

[Ana_M]

Oui !
essaie de voir maintenant dans F ce que ça donne, sachant que ça doit etre solution !

[Clement13]

-y'/y²=-4(1/y)+1
-y'=-4y+y²
y'=(4-y)y donc z est bien solution de (F) :D ?

[Clement13]

pour la question 2 , il faut résoudre c'est a dire donner tout les solutions possible avec k ?

[Clement13]

petit up s'il vous plait !!

[mathelot]

que ce soit pour les changement de variables, d'inconnues ou de coordonnées,

on exprime toujours les "anciennes" en fonction des "nouvelles" de manière
à remplacer les anciennes dans les formules pour obtenir de "nouvelles" égalités

[Jota Be]

petit up s'il vous plait !!

Salut Clément,
là tu appliques le cours, c'est tout.

[Clement13]

Je n'arrive pas ou plutôt je comprends rien comment résoudre (E) et (F) :help:

[Ana_M]

Bah commence par résoudre F , elle est assez simple non ?
Tu dois avoir une formule pr les solutions ds ton cours !

[Clement13]

il faut dire que les solutions de (f) sont les fonctions x-->ke^(-4x)+1/4 ?

[Ana_M]

Oui ! :lol3:

[Clement13]

Ok merci beaucoup et comment peut on faire pour (F) ?

[Ana_M]

-y'/y²=-4(1/y)+1
-y'=-4y+y²
y'=(4-y)y donc z est bien solution de (F) ?

tu fais le pb à l'envers :
tu as z = 1/y
donc y = 1/z
ensuite y est solution de (E) donc tu écris ce que ça donne ; tu en déduis après que z est solution de (F) !

[Clement13]

J'ai montré que z est solution de (E) , il y a que cela a dire pour la résolution de (E) ?