Triangle et cercle d'Euler

[Aileron]

Bonjour,

J'ai de la difficulté avec ce problème :

Soit ABC un triangle
Soit I, J, et K, les milieux de BC, AC, et AB.
Soit C le cercle circonscrit à IJK.

En utilisant une homothétie, montrer que le cercle C passe par les milieux de AH, BH et CH.

Je suis probablement nul en dessin puisque ça en fait quelques-un que je fais et mon cercle ne touche jamais aucun des points qui semblent prêts des milieux lol!

Je ne vois vraiment pas comment on peut démontrer ça.

[el niala]

trace C' circonscrit à ABC

et cherche le centre d'une homothétie qui transformerait C' en C (tu connais le rapport) et qui t'intéresse pour répondre à la question posée
attention, G, qui serait un centre possible, ne t'intéresse pas

[Aileron]

Merci encore pour l'aide el-niala!

Mes instincts me crient de prendre le centre H et un rapport 1/2. Mais je ne suis pas à l'aise avec les homothéties en général (en fait j'ai toujours fait ça pour des points sur une droite, jamais pour un cercle). Je ne sais pas trop comment montrer ça. Je continue de chercher et de faire des exercices d'Homothétie.

[el niala]

tes instincts ont raison, allez, dis-leur de te remuer les neurones

[el niala]

allez, une piste, tu te souviens d'avoir vu au collège que le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté du triangle était sur le cercle circonscrit à celui-ci ?

[Aileron]

euh non, je n'ai jamais vu ça... (je fais mon cours au Québec) mais ça me semble bien logique.

[el niala]

la belle Province me déçoit un peu sur ce coup :
http://serge.mehl.free.fr/anx/ortho_circons.html par exemple
un rapide raisonnement sur les angles inscrits qui interceptent des diamètres permet de conclure
et comme un cercle est défini par 3 points, le tour est joué pour montrer que C' donne C par l'homothétie (H, 1/2)
tu peux alors conclure

[Aileron]

Ça y est! Hier soir à 23h j'ai fini par comprendre!

Merci pour l'énorme coup de main!