Dm de maths, arithmétique TL

[Laurie67]

Bonjour, alors voilà, j'ai un DM de maths à rendre pour la semaine prochaine, j'ai tout fait, sauf une partie d'un exercice qui me bloque vraiment... Alors j'espère pouvoir trouver de l'aide ici !

Voici l'énoncé:
Le but de cet exercice est de montrer, par deux méthodes différentes, que pour tout nombre entier naturel n, le nombre n³+5n est divisible par 6.
(j'ai réussi à faire la première méthode. Voici la deuxième.)

1. Montrer que pour tout nombre entier naturel n, n(n+1) est pair.
En déduire que pour tout nombre entier naturel n, 3n(n+1) est divisible par 6.
2. On admet que (n+1)³ + 5(n+1) = (n³+5n) + 3n(n+1) + 6. Montrer que:
Si pour un nombre entier naturel n, n³ + 5n est divisible par 6, alors (n+1)³ + 5(n+1) est divisible par 6.
3. Que reste-t-il à vérifier, pour en déduire que n³+5 est divisible par 6, pour tout nombre entier naturel n?

Merci d'avance à ceux qui m'apporteront gentillement de leur aide !

[el niala]

1) n et n+1 sont 2 entiers consécutifs, donc un des 2 est obligatoirement...
si n(n+1) est pair, il est divisible par 2 non ? et donc...

2) tu as montré précédemment que 3n(n+1) était divisible par 6
6 est divisible par 6
si le 3ème terme l'est aussi, alors la somme le sera non ?

3) que (n+1)[e]3[/e]+5(n+1) est divisible par 6 sans doute
vérifie que cette quantité vaut n(n+1)(n+2)+6(n+1)
bizarre qu'on ne te donne pas d'autres indications en TL, à moins que tu aies déjà vu que n(n+1)(n+2) était divisible par 6, ou que j'ai raté quelque chose

[Laurie67]

Merci pour tes explications, même si je n'y comprends pas grand chose, lol. Je suis pas très forte en maths, enfin dans ce cas là c'est surtout de la logique... Et sinon, dans le première méthode, nous avions des congruences, j'ai donc démontré que n³+5n est divisible par 6 avec les congruences...
Mais dans la deuxième partie, je pédale dans la semoule !!!

[el niala]

pas de panique :zen:

1) 2 cas possibles :
n est pair, alors n(n+1) est pair et donc divisible par 2
n est impair, alors (n+1) est... et donc...

ensuite, si un nombre est pair, tu peux l'écrire 2p non ? et si tu multiplies par 3, ça donne 6p et donc...

2) si tu fais la somme de 3 multiples de 6, cette somme est alors aussi un multiple de p non ?

3) il va juste falloir montrer que n(n+1)(n+2) est toujours un multiple de 3 (puisque tu sais déjà que c'est un multiple de 2)