Limite et exponentielle

[Haki]

Bonjour pouvez vous m'aider pour le calcul de cette limite :

-

[XENSECP]

Croissances comparées

[Haki]

oui mais comment arrivé a la forme voulue?

[XENSECP]

oui mais comment arrivé a la forme voulue?

Pas compris la question...

[Haki]

je ne vois pas comment utiliser les croissances comparées ici vu qu'on a pas e^x/x ou xe^x

[zeroXzero]

Voila je pense avoir trouvé:
on a :
pour tout x:
e^x>x

on ajoute ensuite -x^2/2 des deux cotés , ça donne :

e^x - (x^2/2) > (x) - (x^2/2)

puis on factorise par x^2

e^x - (x^2/2) > (x^2)*(1/x - 1/2)

Ensuite on cherche lim en + l'infini de (x^2)*(1/x - 1/2)
On la trouve = + l'infini

Et donc Selon le theoreme de comparaisons , lim en + l'infini de e^x - (x^2/2) = + l'infini

J’espère ne pas avoir fait des fautes :triste:

[Haki]

Merci pour cette réponse !

Autre question qui n'a rien a voir :



je cherche les limites en - et + l'infini.

tend vers en - et vers 0 en non ?
en termes de limites, le produit de 0 par vaut il 0 ? ou indeterminé? ou ?
pour - j'ai du mal :S

[zeroXzero]

Merci pour cette réponse !

Autre question qui n'a rien a voir :



je cherche les limites en - et + l'infini.

tend vers en - et vers 0 en non ?
en termes de limites, le produit de 0 par vaut il 0 ? ou indeterminé? ou ?
pour - j'ai du mal :S

E^-l'infini = 0 et e^+l'infini = +l'infini vous avez donc raison

cependant le produit de l'infini et de 0 est une forme indéterminée , il faudra donc lever cette indétermination .

Calculons la limite en + l'infini:

sachant que e^-x = 1/e^x ; on peut réécrire la fonction sous la forme :
(x+1)/e^x
on sépare ensuite:
f(x)= (x/e^x) + (1/e^x)

Il existe une règle qui énonce que lim en + l'infini de e^x/x = + l'infini

donc lim en + l'infini de (x/e^x) = 1/+ l'infini = 0
et lim 1/e^x en + l'infini = 0
donc la limite de f(x) en + l'infini = 0+0 = 0

Maintenant la limite en - l’infini (je me suis cassé la tête dessus mais je l'ai enfin trouvé)

bon , on a f(x) = (x+1)* e^-x

il faudra procéder à un changement de variable ; ainsi :

on pose X=-x donc x=-X
l’équation devient f(x) = (1-X)*e^X
= e^X - Xe^X
il existe une règle qui énonce que lim en - l'infini de xe^x = 0
et donc lim en - l'infini de f(x)= + l'infini (car lim en - l'infini de xe^x = 0 et lim en - l'infini de eX = lim en - l'infini de e^-x = + l'infini.

[Haki]

E^-l'infini = 0 et e^+l'infini = +l'infini vous avez donc raison

cependant le produit de l'infini et de 0 est une forme indéterminée , il faudra donc lever cette indétermination .

Calculons la limite en + l'infini:

sachant que e^-x = 1/e^x ; on peut réécrire la fonction sous la forme :
(x+1)/e^x
on sépare ensuite:
f(x)= (x/e^x) + (1/e^x)

Il existe une règle qui énonce que lim en + l'infini de e^x/x = + l'infini

donc lim en + l'infini de (x/e^x) = 1/+ l'infini = 0
et lim 1/e^x en + l'infini = 0
donc la limite de f(x) en + l'infini = 0+0 = 0

Maintenant la limite en - l’infini (je me suis cassé la tête dessus mais je l'ai enfin trouvé)

bon , on a f(x) = (x+1)* e^-x

il faudra procéder à un changement de variable ; ainsi :

on pose X=-x donc x=-X
l’équation devient f(x) = (1-X)*e^X
= e^X - Xe^X
il existe une règle qui énonce que lim en - l'infini de xe^x = 0
et donc lim en - l'infini de f(x)= + l'infini (car lim en - l'infini de xe^x = 0 et lim en - l'infini de eX = lim en - l'infini de e^-x = + l'infini.

Merci pour votre reponse!
MErci pour + l'infini, je ne trouvais pas.
Cependant en - l'infini je crois aue vous vous etes trompé car lorsque je trace la courbe à la calculatrice, je trouveque la limite en -infini est -l'infini.
je crois avoir trouvé comment faire :
(x+1)e^-x = (x+1)/e^x
or en -I, e^x tend vers 0+ et x+1 vers -I donc la limite est -I tout simplement non ?

[Nightmare]

Voila je pense avoir trouvé:
on a :
pour tout x:
e^x>x

on ajoute ensuite -x^2/2 des deux cotés , ça donne :

e^x - (x^2/2) > (x) - (x^2/2)

puis on factorise par x^2

e^x - (x^2/2) > (x^2)*(1/x - 1/2)

Ensuite on cherche lim en + l'infini de (x^2)*(1/x - 1/2)
On la trouve = + l'infini

Et donc Selon le theoreme de comparaisons , lim en + l'infini de e^x - (x^2/2) = + l'infini

J’espère ne pas avoir fait des fautes :triste:

Attention, la limite de x²*(1/x-1/2) en +oo n'est pas +oo mais -oo donc on ne peut pas appliquer le théorème de comparaison ici.

Pour utiliser les croissances comparées, il suffit de factoriser comme d'habitude par le terme dominant, ici c'est l'exponentielle :

.

[zeroXzero]

Attention, la limite de x²*(1/x-1/2) en +oo n'est pas +oo mais -oo donc on ne peut pas appliquer le théorème de comparaison ici.

Pour utiliser les croissances comparées, il suffit de factoriser comme d'habitude par le terme dominant, ici c'est l'exponentielle :

.

Ah oui j'ai fait une faute de calcul en fin :marteau: