Matrices Circulantes

[JDB]

Bonjour,

je pose la question suivante (qui pour moi, n'est bien sûr , pas évidente) :

Pour une matrice circulante de dimension N, N ,
peut on infirmer ou confirmer facilement la conjecture suivante?.

Si N ,dimension de la matrice est un nombre premier
Et
Si les coefficents de cette matrice appartiennent à l'ensemble des nombres naturels avec au moins un des coefficients = 0 et au moins un coefficient non nul Alors le determinant de cette matrice est toujours different de 0?.
(par contre , si N n'est pas un nombre premier, alors on peut avoir un déterminant = 0)

par avance, merci de vos réponses

[laya]

Est-ce que tu parles de nullité modulo l'ordre premier N de la matrice ou de nullité tout court ?

Considérée comme matrice sur le corps des complexes, une matrice circulante est diagonalisable, son déterminant est le produit de ses valeurs propres. Son spectre est l'image des racines Nème de l'unité par le polynôme de degré au plus N-1 dont la suite des coefficients est la première ligne de la matrice circulante.
Le déterminant est donc nul si une racine Nème de l'unité est racine de ce polynôme.

La question serait alors, étant donnés un nombre premier N et une suite d'entiers naturels non tous nuls et dont l'un au moins est nul, le polynôme n'admet-il jamais une racine telle que .

Comme tu l'as dit, si N n'est pas premier, exemple N = 4 alors la matrice circulante de première ligne (1,0,1,0) est de déterminant nul.

Si N est premier, regarde ce que tu peux faire avec cette piste :lol3: :
Si une telle racine existe alors c'est une racine primitive de l'unité (puisque N est premier). Son polynôme minimal sur le corps Q des rationnels est le Nème polynôme cyclotomique, qui est de degré (indicatrice d'euler). On peut montrer que ce polynôme minimal est en fait .

[JDB]

Bonjour
Tout d'abord merci pour le réponse de Laya.
Et je tiens à m'excuser de la réponse tardive : manque de temps.

Si j'ai bien compris il faut ensuite poursuivre le raisonnement comme suit :
Pour le cas où \lambda = 0 le Polynome P ne peut pas etre égal à 0 du fait des hypothèses sur les coefficients ai
et pour le cas \lambda different de 0, P=0 suppose donc que le polynome minimal : (X^N-1+ X+1)divise P et donc
que P = a(X^N-1 + ..... X+1)
ce qui est encore impossible du fait des hypothèses sur les coefficients ai.
Et donc conclure que le determinant est bien different de 0 sur ces hypothèses : conjecture vraie.

Ai-je donc bien compris?.
Merci pour ce j'espère etre une dernière réponse.