Théorie des graphes

[Sooofie]

Bonjour,
j'ai un exercice à résoudre sur la théorie des graphes et si j'ai assez bien compris le raisonnement et que je suis sûre de mes résultats, je crains que mes démonstrations ne soient pas assez rigoureuses et j'aurais besoin d'aide.

Voici l'énoncé:
Soit G un graphe simple à 5 sommets, dont 4 sommets u1, u2, u3 et u4 sont de degré 2. Soit v le cinquième sommet de degré d.

1) Est-il possible que d=0.
=> Il est assez évident que oui, les 4 sommets sont de degré 2 donc sont reliés ensemble en formant un cycle et le 5ème est un sommet isolé. Mais je ne sais pas bien comment le démontrer.
Soit D la somme des degrés de G. D=8+v. Hors, D=2A (avec A=le nombre d'arêtes de G) donc D doit être pair et d(v) peut être égal à 0. Ca suffit?
2) Est-il possible que d soit pair.
=> Par la démonstration précédente, il est non seulement possible mais nécessaire qu'il soit pair.
3)Est-il possible que d soit impair.
=> Idem si dessus.
4)Est-il possible que d>=5
=>Si G possède 5 sommets et qu'il s'agit d'un graphe simple, il ne peut y avoir plus de 4 arêtes partant d'un même sommet pour relier les 4 restants. Donc d<5.
C'est pareil ici, je ne suis pas sûre de ma démonstration même si je comprends bien qu'il ne peut en être autrement dans le cadre d'un graphe simple sans arêtes parallèles ni boucles.
5) Montrer que si A est le nombre d'arêtes de G alors A<=6
=>Avec D=2A, D=8+v et d<=4, alors D<=12 et A<=6
6)Quels sont les degrés des sommets u1, u2, u3 et u4 dans le graphe complémentaire de G.
=> Dans G, le degré le plus élevé possible par sommet est 4. Dans le graphe complémentaire, d(u1)=d(u2)=d(u3)=d(u4)=4-2=2 également.
Là aussi, je ne sais pas l'expliquer mieux...
7)Montrer que G n'est pas connexe ssi d=0
=>G n'est pas connexe si au moins un des sommets n'est pas relié aux autres. Or u1, u2, u3 et u4 sont tous de degré 2 donc reliés entre eux par 2 arêtes. G n'est donc pas connexe ssi d=0.
Là j'ai un gros doute. On voit bien que si d=2 on obtiendra un cycle et si d=4 ils seront forcément tous reliés. J'ai essayé avec la formule S-A+F=1 si connexe mais je ne sais pas comment la manier étant donné qu'on n'a pas le nombre de face, ou que je n'ai pas compris à quoi il correspondait!
8) Montrer que G et son graphe complémentaires sont identiques ssi d=2.
=> On a déjà montré que d(u1)=d(u2)=d(u3)=d(u4)=2 dans G et son graphe complémentaire, idem si d=2 dans G, d=2 dans complémentaire et donc graphe identique.
En fait non, en faisant un petit dessin, là ou on a un cycle dans G on a une "étoile" dans le graphe complémentaire....