Devoir terminale S, Euler

[Collin]

Bonjour j'ai un devoir de math a rendre, mais je bute dès le début, je ne sait pas comment commencer.
J'aimerais que l'on me débloque. Merci d'avance.

On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur R qui vérifient :
F(0)=1 et f’=af où a est un réel donné (*)

A. Partie informatique
On souhaite construire avec la méthode d’Euler des courbes approchées de la fonction f.
Pour cela, on obtient les coordonnées de 200 points en créant :
- une liste de 200 abscisses (xn) telles que x100 et, pour tout n appartenant à N ,
xn+1=xn+0,05
- Une liste de 200 ordonnées (yn) telles pour tout n appartenant à N , soit calculé par une
approximation affine de f(xn)

1. a. Exprimer y101 l’approximation affine de f(0,05) en fonction de y100 et a.
b. Plus généralement, donner la relation entre yn+1 et ,pour yn puis la formule
associée à y101 que l’on va ensuite étirer.

2. a. Exprimer y99 l’approximation affine de f(-0,05) en fonction de y100 et a.
b. Plus généralement, donner la relation entre yn-1 et yn ,pour n inférieur ou égale à 100 puis la formule
associée à que l’on va ensuite étirer.

3. Construction de la feuille de calcul
a. Attribuer une cellule à la valeur de la constante a de façon à pouvoir la
modifier. On prendra pour le début a=1.
b. Construire les listes (xn) et (yn) dans 2 colonnes. Ne pas oublier de fixer l’adresse de la cellule contenant a avec un $.
c. Afficher la courbe correspondant au nuage des 200 points en réglant correctement la fenêtre.
4. Observation des résultats obtenues pour différentes valeurs de a.
a. Pour a=1 , quelle courbe reconnaissez vous ?
b. Donner les variations et les limites observées en fonctions des valeurs de a.
(Ne pas oublier d’essayer avec des valeurs négatives de a)


B Partie mathématique

1. Soit h(x)= expodentielle (ax)
a. Déterminer la fonction u telle que h= exp rond u
b. Après avoir justifié que h est dérivable sur R, calculer sa dérivée .

2. Soit g(x)=f(x)/exp(ax) où f est une fonction qui vérifie (*)
a. Justifier que g est une fonction dérivable sur R
b. Démontrer que g est une fonction constante sur R.
c. Conclure : Combien de fonctions vérifient la condition (*) ? quelles sont leurs
expressions ?

3. Démontrer les résultats observés à la question 4.b. de la partie A



Pour la question A1a, faut il utiliser la formule de l'approximation affine: f(a+h)=f(a)+f'(a)(h-a)?

Cordialement, Léo

[XENSECP]

C'est exact pour le début ;)

[Anonyme]

@Collin
Bonjour
La méthode d'Euler consiste à "approximer" les valeurs d'une fonction dérivable à partir des ses différentes tangentes.
Pour trouver cette relation
1) il faut calculer l'équation de la tangente en un point c'est à dire une équation d'une droite de type ( en fonction de , et )
2) calculer sur cette tangente l'ordonnée du point en c'est à dire le point d'ordonnée )
3) puis écrire que si et si , alors on a la relation ~~

[Collin]

Donc en utilisant l'approximation affine je doit exprimer f(0,05) avec y100 et a dans l'expression:

f(0,05)=f(a)+f'(a)(y100-a), on remplace h par y100?

[Collin]

Pour la question B1a:
Si h=exp rond u
et si h(x)=e^ax
alors la fonction u sera u(x)=ax

Pour la question B1b:
Fonction expodentielle définie sur R
Fonction ax est définie sur R
donc fonction h(x)=e^ax est définie sur R

h'(x)=u'*v'(u(x))
=a*e^ax

[Anonyme]

Pour la question B1a:
Si h=exp rond u (exp o u)
et si h(x)=e^ax
alors la fonction u sera u(x)=ax

Pour la question B1b:
Fonction exponentielle définie sur R
Fonction ax est définie sur R
donc fonction h(x)=e^ax est définie sur R

h'(x)=u'*v'(u(x))
=a*e^ax

OUI c'est correct

[Collin]

Pour la question B2: Pour justifier que g est dérivable comment fait on?
Pour g une fonction constante, on doit montrer que la dérivé de g égale 0?
Que me demande t-on pour la question C?

Merci

[Anonyme]

Pour la question B2: Pour justifier que g est dérivable comment fait on?
Pour g une fonction constante, on doit montrer que la dérivé de g égale 0?
Que me demande t-on pour la question C?

Merci

Bonsoir
a) Il faut expliquer pourquoi la fonction définie par g(x)=f(x)/exp(ax) est dérivable sur IR

b) Comme f'=af , on peut démontrer que pour tout x de IR on a g'(x)=0 et donc que g est une fonction constante sur IR

c) comme est une fonction constante sur IR on peut écrire :
avec
ET comme on a : f(x)=k.exp(ax)
la question est : combien y-a-t-il de fonction qui vérifie ?