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[Mathilde1517]

On considère la fonction numérique f définie sur [-5; +l'infinie[ par : f(x) = (2x-3)e^x
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (o;i;j).
(unités graphiques possibles : 2cm > abscisses et 1cm > ordonnées)

1. Déterminer la limite de f en +l'infinie.
2. Pour tout réel x, montrer que f ' (x) = (2x-1)e^x. En déduire le tableau de variation de f sur [-5; +l'infinie[.
3. Déterminer des équations des tangentes à C en son point d'abscisse nulle et en son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
4. Tracer ces deux tangentes et la courbe C.

Merci de votre aide.

[gigamesh]

Bonjour,
tu as fait quoi pour l'instant ?

[Mathilde1517]

Pour l'instant je n'ai rien fais.
Avec une amie on a essayer de la faire ensemble mais on a rien trouver car pour l'instant nous n'avons pas fais la leçon et donc nous ne savons pas comment procédé de plus nous n'avons aucun livre a notre disposition pour nous aider.

[gigamesh]

Est-ce que tu connais la limite de 2x-3 en +infini ? Et celle de e^x ?

Est-ce que tu connais la dérivée de 2x-3 ? Celle de e^x ? La formule pour dériver un produit ?

Est-ce que tu sais utiliser un tableau de signes pour étudier le signe d'un produit ?

Est-ce que tu connais le théorème fondamental du calcul différentiel, qui lie les variations d'une fonction avec le signe de sa dérivée ?

Est-ce que tu sais que l'équation réduite de la droite qui passe par et de coefficient directeur est ?

[Mathilde1517]

Je ne connais pas la limite de 2x-3 en +infini. En revanche je sais que la limite de e^x est egale à +l'infinie.

La dérivé de 2x-3 est egale a 2. la dérivé de e^x je ne sais pas. Et la formule pour dériver un produit je sais pas non plus.

je sais utiliser un tableau de signe.

Je ne connais pas le théorème fondamental du calcul différentiel qui lie les variations d'une fonction avec le signe de sa dérivée

Et je ne sais pas que l'équation réduite de la droite qui passe par (xo, yo) et de coefficient directeur m est y = m(x-xo)+yo

[gigamesh]

Je ne connais pas la limite de 2x-3 en +infini. En revanche je sais que la limite de e^x est egale à +l'infinie.

C'est +infini.

La dérivé de 2x-3 est egale a 2. la dérivé de e^x je ne sais pas. Et la formule pour dériver un produit je sais pas non plus.

La dérivée de e^x c'est e^x. La dérivée de uv c'est u'v+uv'.

je sais utiliser un tableau de signe.

Alors tu fais un tableau de signes avec une ligne pour2x-1 et une ligne pour e^x, et une ligne pour f'(x).

Je ne connais pas le théorème fondamental du calcul différentiel qui lie les variations d'une fonction avec le signe de sa dérivée

Si f'>0 sur un intervalle alors f est croissante sur cet intervalle.
Si f'<0 sur un intervalle alors f est décroissante sur cet intervalle.

Et je ne sais pas que l'équation réduite de la droite qui passe par (xo, yo) et de coefficient directeur m est y = m(x-xo)+yo

Bin maintenant tu le sais !
L'utilité est que la tangente à la courbe de f en (a;f(a)) a pour coefficient directeur f'(a), et passe par (a;f(a)) ce qui te permet de trouver les équations de tangentes demandées.

[Mathilde1517]

Donc,

1. la limite de f en +l'infinie est égale à +l'infinie.

2. la dérivé de (2x-3) = 2
la dérivé de e^x = e^x
donc : u = 2x-3 et v = e^x
u' = 2 et v' = e^x
alors : u' x v+u x v' = 2 x e^x+2x-3 x e^x
= (2x-1) e^x
Ensuite le tableau de l'ai fais

3. Je n'ai pas très bien compris vos explications pour cette question.

[gigamesh]

Donc,

1. la limite de f en +l'infinie est égale à +l'infinie.

2. la dérivé de (2x-3) = 2
la dérivé de e^x = e^x
donc : u = 2x-3 et v = e^x
u' = 2 et v' = e^x
alors : u' x v+u x v' = 2 x e^x+2x-3 x e^x
= (2x-1) e^x
Ensuite le tableau de l'ai fais

Oui.

3. Je n'ai pas très bien compris vos explications pour cette question.

"La tangente en le point d'abscisse nulle", dont on te demande l'équation réduite,
c'est la droite
* qui passe par (0;f(0))
* dont le coefficient directeur est f'(0)

Donc il te reste à calculer f(0) et f'(0), puis à appliquer la formule que je t'ai proposée.

Pour la tangente en le point où la courbe de f coupe l'axe des abscisses, on commence par déterminer ce point ; évidemment son ordonnée est zéro (on est sur l'axe des abscisses), et son ordonnée est la solution de l'équation f(x)=0 (équation facile à résoudre si tu te rappelles qu'une exponentielle est strictement positive).
Une fois que tu as cette abscisse, procède comme pour la tangente en zéro.

[Mathilde1517]

Ah oui je comprend beaucoup mieux.
Merci beaucoup pour votre aide.

[Mathilde1517]

Donc pour le 3 : determiner des équations des tangentes en C en son point d'abscisse nulle et en son point d'intersection avec l'axe des abscisses :

La tangente en le point d'abscisse nulle, c'est la droite :
- qui passe par (0 ; f(0))
- dont le coefficient directeur est f'(0)
f(0) = (2x0-3)e^0
= (2x0-3)1
= -3
et f'(0) = (2x0-1)e^0
= (2x0-1)1
= -1

Si f' est plus petit que 0 sur un intervalle donné alors f est décroissante sur cet intervalle.
Et l'équation réduite de la droite qui passe par (x0 ; y0) et de coeff directeur m est y = m(x-x0)+y0


Pour la tangente en le point où la courbe de f coupe l'axe des abscisses,
il faut determiner ce point :
Son ordonné est zéro ( on est sur l'axe des abscisses) et son ordonnée est la solution de l'équation f(x) = 0
2x-3 = 0
2x = 3
x = 1.5
donc cette tangente passe par (0 ; 1.5 )


( Mais je n'ai pas d'équation pour celle la ) !

[gigamesh]

Donc pour le 3 : determiner des équations des tangentes en C en son point d'abscisse nulle et en son point d'intersection avec l'axe des abscisses :

La tangente en le point d'abscisse nulle, c'est la droite :
- qui passe par (0 ; f(0))
- dont le coefficient directeur est f'(0)
f(0) = (2x0-3)e^0
= (2x0-3)1
= -3
et f'(0) = (2x0-1)e^0
= (2x0-1)1
= -1

Oui, donc l'équation de ta tangente en 0 est y=f'(0) (x-0) + f(0) donc c'est y=-1(x-0)+(-3).

Si f' est plus petit que 0 sur un intervalle donné alors f est décroissante sur cet intervalle.
Et l'équation réduite de la droite qui passe par (x0 ; y0) et de coeff directeur m est y = m(x-x0)+y0

Ouaip. Mais tu t'en sers où ?

Pour la tangente en le point où la courbe de f coupe l'axe des abscisses,
il faut determiner ce point :
Son ordonné est zéro ( on est sur l'axe des abscisses) et son ordonnée est la solution de l'équation f(x) = 0
2x-3 = 0
2x = 3
x = 1.5
donc cette tangente passe par (0 ; 1.5 )


( Mais je n'ai pas d'équation pour celle la ) !

Bin il s'agit de trouver l'équation en a=1,5, comme tu l'as prouvé en résolvant l'équation f(x)=0.

Donc pour appliquer la formule y=f'(a)(x-a)+f(a) il te faut f(a) et f'(a)
c'est à dire ici f(1,5) (bin c'est zéro....) et f'(1,5)=(2*1,5-1)e^1,5
d'où ton équation....