DM Math terminale S

[BeAware]

Bonjour !
Voila, j'ai un DM de Math à faire pour la semaine prochaine, mais quelques questions me posent problème..

1)On cherche, si elle existe, une courbe formée de deux arcs de parabole P1 et P2 qui se raccordent en I (1/2 ; 1/4). c'est à dire deux arcs qui se coupent en ce point et y admettent une tangente commune. Pour déterminer l'équation de P1 : soit j1 la fonction définie sur [0 ; 1/2] par j1(x) = ax^2 + bx + c.

a. Quelles conditions doivent remplir j1 et j1' ?

Je n'ai pas vraiment comprit ce que le prof voulait dire par "conditions" mais j'ai tout de même essayer de répondre et je trouve ceci :

j1(0) = 1/2
j1(1/2) = 0
j1'(0) = 1/2

b. calculer en foncion de a et b la dérivée j' de j.

J'ai trouvé : j' = a2x + b

c. Déterminer alors les réels a, b et c.

J'ai donc fait : j1(0) = 1/2 j1(0) = ax^2 + bx + c
1/2 = a0^2 + b0 +c
1/2 = c

j1(1/2) = 0 j1(1/2) = ax^2 + bx + c
0 = a(1/2)^2 + b(1/2) + c
0 = 1/4*a + 1/2*b + 1/2
-1/2 = 1/4*a + 1/2*b
-2 = a + 1/2*b
-4 = a

j1'(0) = 1/2 j1'(0) = a2x + b
1/2 = a2*0 + b
1/2 = b

Mes résultats me paraissent plutôt faux. Pouvez vous m'indiquer où se situe mon erreur s'il vous plait ?

2. Avec la même méthode déterminer la fonction j2 qui a pour courbe représentative P2.

Je n'arrive pas à trouver J2, je ne vois pas comment faire..

3. Vérifier que les deux arcs de parabole admettent au point I une tangente commune.

Ici, j'ai un problème de méthode je pense..

Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance ! Bonne soirée

[XENSECP]

P1 et P2 se raccordent au même point donc les inconnues a, b et c de l'équation de la courbe j1(x) vérifient déjà une équation : P1 passe par I.

Ensuite on te dit que ça doit avoir la même tangente, d'où une condition sur j1'(x) :)


Par contre sans donnée sur j2 ou ladite tangente ça va être + compliqué ^^ (je suppose que tu vas me dire que tu n'as pas oublié de taper qqch ?)

[BeAware]

Eh non, malheureusement, je n'ait rien oublier de taper ^^'

Par contre, j'ai un petit dessin qui va avec l'énoncé, est ce que il faut que je le mette ?

[XENSECP]

Eh non, malheureusement, je n'ait rien oublier de taper ^^'

Par contre, j'ai un petit dessin qui va avec l'énoncé, est ce que il faut que je le mette ?

-_-'

Rien oublié de taper mais juste un dessin qui doit probablement être essentiel :mur:

[BeAware]

Voila ce que j'ai trouvé :

1)On cherche, si elle existe, une courbe formée de deux arcs de parabole P1 et P2 qui se raccordent en I (1/2 ; 1/4). c'est à dire deux arcs qui se coupent en ce point et y admettent une tangente commune. Pour déterminer l'équation de P1 : soit j1 la fonction définie sur [0 ; 1/2] par j1(x) = ax^2 + bx + c.

a. Quelles conditions doivent remplir j1 et j1' ?

Je n'ai pas vraiment comprit ce que le prof voulait dire par "conditions" mais j'ai tout de même essayer de répondre et je trouve ceci :

j1(0) = 1/2
j1(1/2) = 0
j1'(0) = 0

b. calculer en foncion de a et b la dérivée j' de j.

J'ai trouvé : j' = a2x + b

c. Déterminer alors les réels a, b et c.

J'ai donc fait : j1(0) = 1/2 j1(0) = ax^2 + bx + c
1/2 = a0^2 + b0 +c
1/2 = c

j1'(0) = 0 j1'(0) = a2x + b
0 = a2*0 + b
0 = b

j1(1/2) = 1/4 j1(1/2) = ax^2 + bx + c
1/4 = a(1/2)^2 + b(1/2) + c
1/4 = 1/4*a + 1/2*b + 1/2
1/4 = 1/4*a + 1/2
-1/4 = 1/4*a
-1 = a

On obtient donc l'équation j1(x) = -x^2 +1/2


2. Avec la même méthode déterminer la fonction j2 qui a pour courbe représentative P2.

P2 est donc la courbe représentative de j2 définit sur [1/2 ; 1]

j2 doit remplir trois conditions :
- j2(1/2) = 1/4
- j2(1) = 0
- j2'(1) = 0

on peut donc en déduire que j2 possède la même équation que j1.
j2(x) = ax^2 + bx + c et j2'(x) = a2x + b

j2(1) = 0 0 = a + b + c

j2'(1) = 0 0 = 2a +b (-2a = b)

Donc 2a + b = a + b + c
2a = a + b + c - b
a + a = a + c
Donc a = c

j2(1/2) = 1/4 1/4 = a*(1/4) + b*(1/2) + c
1/4 = a*(1/4) - 2a*(1/2) + a
1/4 = a*(1/4) -a + a
1 = a
1 = c

j2'(1) = 0 0 = 1*2*1 + b
-2 = b

On obtient donc l'équation : j2(x) = x^2 -2x +1


3. Vérifier que les deux arcs de parabole admettent au point I une tangente commune.

Pour que les deux arcs de parabole admettent une tangente commune au point I il faut que j1'(x) = j2'(x)

j1'(1/2) = a2*(1/2) + b
= -2*(1/2)
= -1

j2'(1/2) = a2*(1/2) + b
= 1 -2
= -1

Donc P1 et P2 admettent une tangente commune en I (1/2 ; 1/4)

Mes résultats sont ils justes ?

& voila le dessin : (je ne peux pas scanner mon dessin, j'en ait donc prit un ressemblant au mien sur le net, j'avais avec deux indications : la rampe est tangente au sommet de la marche en son sommet et elle est également tangente au sol en sa base)

[XENSECP]

Pour quoi tu réécris tout et en plus la même chose par rapport à avant ? Tu veux pas te concentrer sur chaque question une par une ?

Sinon bah ton dessin ne m'aide pas vraiment... Comment voulez-vous travailler dans ces conditions :D

[BeAware]

Non, non, ce n'est pas la même chose, j'y ait mit des modifications :P

J'ai modifié ce qui était faux dans la question 1 et j'ai fait les autres questions.

Et moi non plus, mon dessin ne m'a pas vraiment servit =/

Donc, si on fait question par question, pour la 1)a), d'après ce que tu m'as dit, j'aurais déjà comme condition, sachant que I a pour coordonnée (1/2 ; 1/4) : j1(1/2) = 1/4
condition sur j1'(0) = 0, car la tangente est la droite y=0.
condition sur j1(0) = 1/2, d'après le dessin.

c'est ça ?

[Exquise Sensation]

mea culpa :$

[Exquise Sensation]

deux indications : la rampe est tangente au sommet de la marche en son sommet
et elle est également tangente au sol en sa base

:marteau:

[Exquise Sensation]

j1(x) = -x^2 +1/2

j2(x) = x^2 -2x +1


Je confirme que tes 2 fonctions vérifient toutes les conditions voulues!

[BeAware]

Génial ! Merci beaucoup ! :D

Donc c'est tout bon ?