Limite qui tend vers e

[avis91]

Bonjour
je dois démontrer une inéquation et je n'arrive pas trop
e^x>1+x (1) en utilisant (1) je dois démontrer que pour tout n>0; (1+(1/n))^n<e
Merci d'avance.

[Sylviel]

Quel x choisir a priori ?

[avis91]

oh pardon à la base c'est une suite Un=(1+(1/n))^n
et je dois démontrer a l'aide de (1)e^x>1+x que pour tout n>0 UnMerci

[Sylviel]

oui j'ai bien compris, je te demande quel x choisir dans 1) pour te rapprocher du résultat ?

[avis91]

surement x=1

[Sylviel]

Non, x=1 ne te donneras jamais de n... Regarde un peu ce que tu as :
e^x>1+x

et ce que tu veux montrer :
(1+(1/n))^n
quel x peux tu prendre ?

[avis91]

oui je vois e^n>1+n
((e^n)/n)>((1+n)/n) (car n>0)
((e^n)/n)^n>((1+n)/n)^n à droite j'ai retrouver l'egalité mais à gauche je ne
sais pas comment faire.
merci

[Olympus]

Tu veux montrer que .

Première chose, essaie de mettre cette inégalité sous la forme . D'abord, l'exposant dans l'inégalité à prouver gène, tu feras comment pour t'en débarrasser ?

[avis91]

Je ne sais pas quel X prendre. je suis completement perdu :mur:

[avis91]

ok je trouve x=1/n est-ce que c'est bon?

[Anonyme]

Mais c'est pas fini ..
En prenant que devient ton inégalité ?

[avis91]

j'ai réussi a démontrer la premiere mais je bloque sur une autre inégalité (-1/(e^n+1))<(n/(n+1)).
Merci de m'aider.

[Anonyme]

c'est bien ?

[avis91]

non c'est e^(n+1)

[Anonyme]

Si c'est ça alors c'est trivial , l'un est négatif alors que l'autre est positif .

[avis91]

Desolé je me suis trompé. La question c'est e^(-1/(n+1))> n/(n+1).

[avis91]

est-ce qu'il faut prendre X=-1/(n+1)?

[Anonyme]

Essaye , ça prend 20s :)

[avis91]

Merci......

[avis91]

Une dernière question:

Un= (1+(1/n))^n
Montrer que Un+1/Un> ((n+2)/(n+1)) (1-(n/(n+1)²));
[on pourra utiliser que pour tout a>-1 (1+a)^n> 1+na]