Matrices dans l'espace

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 11:48

[FONT=Arial Black]bonjour,

J'ai des exercices qui sont tous du même genre mais je ne comprend pas ce que je suis censée faire... Le problème est que j'aurais pas de corrections en cours et je suis censée savoir le faire...
Je vous poste qu'un seul des exercices, en espérant que ça me débloque pour tous les autres :

Soit P le plan dans R^3 qui passe par o(0;0;0) et qui est normal au vecteur n = (0;0;1).
>>écrire la matrice 3*3 de la projection orthogonale d'un point (x;y;z) sur ce plan.
[/FONT]

par **Doraki** » 11 Déc 2010, 12:38

si tu prends un point (x,y,z), quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal de ce point sur le plan P ?
et d'abord, comment tu décrirais plus simplement le plan P ?

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 13:47

Je ne sais pas faire le projeté avec les matrices :/ on a une formule que je comprend pas là dessus :

m, u, v sont des vecteurs :

la projection orthogonale de v sur u (ici u c'est le plan sûrement... déjà c'est pas un vecteur donc je sais pas si je peux utiliser cette formule) est :
m= (u/|u|)*((u/|u|).v)
c'est tout ce que je sais et je crois qu'ici ça sert pas...

Pour le plan, vu qu'il passe par l'origine et que le vecteur (0;0;1) je suppose que le plan correspond à l'axe (x,y)?

merci pour l'aide en tout cas!

par **Ben314** » 11 Déc 2010, 14:03

Salut,
Vu les données que tu as dans cet exercice là, tout ce que je peut te donner comme indic, c'est que le nombre de "formules" dont tu as besoin pour le résoudre est trés précisément égal à... zéro.
C'est un trés bon exercice pour débuter car il ne demande qu'une seule chose : comprendre la question. Dés qu'on a compris, on a la solution.

par **Doraki** » 11 Déc 2010, 14:09

En plus ils te définissent P par justement un vecteur unitaire orthogonal à P.
Alors si tu sais ce que c'est qu'une projection orthogonale, t'as juste à faire un dessin.

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 14:19

Salut,

Bon en gros c'est super simple et je vois rien... :/

pour moi, vu que le plan est sur (O, i, j) (si on peut dire ça comme ça), je suppose que la projection orthogonale d'un point (x, y, z) sur ce plan est le point (x, y, 0) ?
Même si c'est bon ce que j'ai écris je vois pas à quoi ressemble la matrice de cette projection..

par **fatal_error** » 11 Déc 2010, 14:33

salut,

Ben tu poses

ta matrice de projo
Du coup ton point projeté

dans le plan (o,i,j) il vaut

= MX
avec X=(x,y,z)'
tu developpes...
t'obtiens

En te rappelant comme tas dit que

Tas plusqu'a déduire a, b, c, d, e...

par **Doraki** » 11 Déc 2010, 14:35

Ben déjà, là tu as la bonne application, et tu sais de quoi tu dois parler
(x,y,z) -> (x,y,0).

Ensuite, pour interpréter ça sous forme matricielle, tu dois avoir ça dans ton cours dans "matrice associée à une application" ou alors dans "application associée à une matrice".

La base qu'on utilise là c'est la base canonique, (e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1))
Ton cours devrait te dire précisément comment on écrit la matrice en écrivant dans la case (i,j) la composante selon ej du vecteur f(ei) écrit dans la base (e1,e2,e3).

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 15:05

@ fatal error :
Ok merci j'ai tout compris jusqu'à "xp= x; yp= y; zp = 0" : enfin si je le comprend mais c'est grâce à mon "dessin" que j'ai vu que c'était sur (o, i, j) alors comment suis je censé faire si c'était un vecteur normal plus compliqué (genre pas qu'avec des 1 et 0) ?

De plus je comprend pas comment on peut résoudre le système alors qu'on a 9 inconnues pour trois équations :/

@doraki
Dans mon cours on a une définition "à toutes matrices A de Mmxn(R), on lui associe l'application linéaire fa = R^n --> R^m X ---> AX"
je comprend pas trop la formule mais au final c'est ce que fatal error a écrit non? (le Xp= MX)

pour la base canonique, pareil on en parle dans le cours... Mais encore une fois je comprend pas ce que c'est et à quoi ça sert...

Enfin sans rien y comprendre je vais essayer :
e1 =(1;0;0)
la première colonne serait d'après ma formule : e1*(a;b;c) soit (a;0;0)
(je comprend même pas ce que c'est et à quoi ça sert..)

Désolé j'ai l'impression d'être nulle mais croyez moi... On dirait pas mais je cherche vraiment à comprendre...

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 16:28

Bon, je me doute que ça se demande pas mais j'en ais plusieurs du même genre alors si vous arrivez pas à m'expliquer vous pouvez me montrer la correction? Souvent je comprend avec elle et je verrais si je suis capable de faire ceux d'après...
Si vous avez peur que je recopie juste pour un contrôle ou autre vous pouvez aussi changer les valeurs etc?

En tout cas merci, même si je sais toujours pas le faire je comprend un tout petit peu mieux déjà...

par **Ben314** » 11 Déc 2010, 16:45

Bon, Fatal Error et Doraki t'on donnés les deux méthodes

Fatal error :
Tu a touvé que
x'=x=1x+0y+0z
y'=y=0x+1y+0z
z'=0=0x+0y+0z
et ça signifie "direct" que la matrice est

J'aurais une préférence pour cette méthode "bébète" dans les cas simple ou il n'y a aucun changement de bases dans l'exercice.

MAIS, il y a des fois des changement de bases donc il faut aussi comprendre ce que dit Doraki qui "rapelle" ce q'est la définition d'une matrice associée à un endomorphisme dans une base donnée.

Déjà, en ce qui concerne "la base cannonique", dans pas mal d'exercices, ç'est un peu... de "l'enculage de mouche" : c'est la base telle que le vecteur u=(x,y,z) ait pour coordonnées dans la base cannonique x,y,z.
C'est vrai que, dit comme ça, ça parrait complètement con MAIS il ne faut pas oublier que, dans une autre base, ce même vecteur u=(x,y,z) va avoir des coordonnées autres que (x,y,z) donc ça permet d'avoir un "point de repère" concernant la notion de coordonnées.

Bon, donc ici, le premier vecteur de la base, c'est e1=(1,0,0) c'est à dire x=1, y=0, z=0.
Son image a pour coordonnées x'=x=1, y'=y=0, z'=0 donc tu met dans la première colonne de la matrice les nombres 1,0,0.
Tu procède de même avec e2=(0,1,0) dont l'image est (0,1,0) et e3=(0,0,1) dont l'image est (0,0,0).

En ce qui concerne les autres exercices, la façon de procéder dépend un peu de ce qu'on te donne au départ. Si on te donne un vecteur normal au plan sur lequel tu doit projeter, c'est le cas le plus gentil.
Par exemple, essaye avec le plan de vecteur normal v=(1,2,1) et je te conseillerais de commencer par en faire le plus possible "à la main", c'est à dire sans utiliser des "formules" que tu n'a pas bien comprises.
Commence par écrire l'équation du plan P en question.
Puis, partant d'un u=(x,y,z) regarde quel sont les coordonnées des vecteurs sur la droite passant par u et dirigée par le vecteur v (c'est à dire sur la droite suivant laquelle on projette).
Enfin, cherche l'intersection de cette droite avec P et tu aura les coordonnées du projeté et donc la matrice de la projection.

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 17:19

avant de faire ton exo je vais encore essayer de comprendre celui là '^^ :
comment tu as fait pour remplacer les a, b, c, ... inconnu de la matrice par 1,0,0 ....?
Si c'est avec la base canonique pour moi
e1 =
(a)
(0)
(0)
ce qui voudrait dire que ax=a dx=0 gx= 0; au final ça revient au meme je crois mais faut que je sache si c'est bien comme ça que tu as fait...
enfin je crois pas que c'est comme ça parce que ça marche pas avec e3...

par **Ben314** » 11 Déc 2010, 20:17

Bon, déjà, e1, c'est pas (a,0,0) mais (1,0,0) ensuite, les a,b,c... tu n'a rien à résoudre pour les trouver : quand dans le post précédent je t'ai écrit que
x'=x=1x+0y+0z
y'=y=0x+1y+0z
z'=0=0x+0y+0z
ben ça veut exactement dire que a=1 ; b=0 ; c=0; ....

De plus, vu que le plan sur lequel tu projète est parfaitement défini (c'est à dire qu'il ne dépend pas de paramètres 'a', 'b',...) je vois vraiment pas ce que viendrait faire des 'a', 'b' et autres 'c' dans la matrice !!!
A la limite, dans une étape intermédiaire du calcul, tu peut donner des noms aux coefficients de la matrice, mais clairement, la matrice finale ne contient forcément que des "vrais constantes".

par **wizz2** » 11 Déc 2010, 22:28

Oui merci au final je l'ai refais depuis le début, et c'est juste que le a je trouve a=1 ça revient au même... désolé je m'embrouille beaucoup avec ces matrices... Je suis même pas sure d'avoir fait comme vous mais bon ça marche :

j'ai écris que le projeté orthogonale de (x,y,z) sur le plan avec z=0 est : (x, y, 0)
Donc puisque p = M*x on a:
ax +by+cz = x => a=1 b=0, c=0;
dx+ey+fz= y => d=0, e=1, f= 0
gx + hy + iz = 0 => g, h, i = 0
Donc on a M= (1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,0)

C'est bon vu comme ça? '^^

pour e1 je suis d'accord que e1=(1,0,0) mais je pensais qu'il fallait faire e1*"1ere ligne de la matrice" or la première ligne je l'avais nommé (a, b, c) (vu qu'à la base j'etais partie avec ce qu'il y avait ecrit au dessus de M= (a b c ; d e f ; g h i))

par **Ben314** » 11 Déc 2010, 23:03

Oui, ça marche parfaitement comme ça (mais tes lettre a,b,c... ne sont pas franchement super utiles...)

par **wizz2** » 12 Déc 2010, 10:39

Bah en fait iciça servait surement pas trop en effet parce que c'était un passage "simple" (et pourtant j'ai galéré) du 3d au 2d on peut dire '^^

L'exercice d'après j'espérais y arriver de la même méthode mais pourtant ça marche pas : dans les mêmes conditions on change juste le vecteur normal à P : (1,1,1) du coup cette fois P = x + y+ z = 0 mais j'arrive pas à trouver le projeté ortho d'un point (x, y, z) , du coup je peux pas faire comme le premier (j'ai essayé de le faire comme on faisait sans les matrices avec une formule mais ça donne un truc qui sert à rien :/)
avec le dessin j'arrive pas non plus à voir ce qu'est le projeté orthogonal d'un point (x, y, z) sur ce plan... :(

par **Ben314** » 12 Déc 2010, 10:48

Effectivement, dans ce cas, on a plus de mal à voir sur un dessin...

Si le vecteur normal est V=(1,1,1) alors effectivement le plan (passant par l'origine) a pour équation
P : x+y+z=0.
Maintenant, partant de A:(x,y,z), la droite passant par M dirigée par u (c'est à dire la droite avec laquelle on projette), c'est l'ensemble des points de la forme M=A+t.V où t est un réel quelconque.
Les coordonnées de tels points sont de la forme ... (dépendant de x,y,z,t) et pour qu'un tel point soit dans le plan P, ben ça veut dire que ces coordonnées doivent vérifier l'équation de P, c'est à dire que... (équation avec des x,y,z,t)
On en déduit alors la valeur de t (en fonction de x,y,z) puis les coordonnées du point d'intersection A+tV (en fonction de x,y,z) ce qui donne immédiatement la matrice.

par **benekire2** » 12 Déc 2010, 14:11

Salut ,

Tient de manière plus générale, donne moi la matrice d'un projecteur (quelconque) ,

par **Ben314** » 12 Déc 2010, 14:46

benekire2 a écrit:Salut ,

Tient de manière plus générale, donne moi la matrice d'un projecteur (quelconque) ,

A qui tu pose la question ?

par **benekire2** » 12 Déc 2010, 15:43

Ben314 a écrit:A qui tu pose la question ?

ce serait quand même con que je la pose a toi :zen:

Donc ça s'adresse bien à notre ami Wizz2 :lol3:

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