Application linéaire

[papite]

Bonjour

J'aurais besoin d'aide pour un exercice où il faut calculer f(x,y,z) sachant que f est une application linéaire de R3 dans R2 telle que
f(1,0,1)=(-1,3)
f(0,1,1)=(1,4)
f(0,0,1)=(2,0)
En m'aidant d'un exercice du même type
j'ai écrit f(x(1,0,1)+y(0,1,1)+(z-x-y)(0,0,1))
Mais je ne comprends pas pourquoi on prend z-x-y et non pas z tout seul
Et à la fin je trouve (-3x-y+2z,3x+4y) et là impossible de résoudre l'équation permettant de calculer Kerf
-3x-y+2z=0
3x+4y=o

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
C'est extrêmement couillon :
La seule chose qu'on connait au départ, c'est f(1,0,1), f(0,1,1) et f(0,0,1) et on te demande de calculer f(x,y,z).
Il faut donc évidement trouver des réels a,b,c (dépendent de x,y,z) tels que (x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1).
C'est un système de trois équations à trois inconnues (a,b et c) qui se résoud en une ligne et dont l'unique solution est a=x, b=y, c=z-x-y.

Concernant ton système
-3x-y+2z=0
3x+4y=0
Tu le résoud par exemple par la méthode du pivot :
a) faire apparaitre 1 ,0 sur la première colonne :
L'1=L1/(-3) -> x+(1/3)y-(2/3)z=0
L'2=L2+L1 -> 3y+2z=0
b) faire apparaitre 0 ,1 sur la première colonne :
L"2=L'2/3 -> y+(2/3)z=0
L"1=L'1-(1/3)L"2 -> x-(8/9)z=0.
On ne peut pas aller plus loi vu qu'il n'y a pas d'autre lignes, mais il suffit de réécrire ces deux équations sous la forme
x=(8/9)z
y=-(2/3)z
pour voir qu'elle disent qu'on peut prendre z "total au pif" mais qu'ensuite, il n'y a plus le choix pour x et y : il y a donc une infinité de solutions et ces solutions sont :
(x,y,z) = ( (8/9)z , -(2/3)z , z) = z/9.( 8 , -6 , 9)
C'est donc le sous espace vectoriel engendré par (8,-6,9)

[papite]

Merci

mais pour l'équation je ne connais pas la méthode du pivot

[Ben314]

Merci
mais pour l'équation je ne connais pas la méthode du pivot

Tu peut bien employer la méthode que tu veut (par exmple par substitution), ça ne changera absolument rien au résultat : tu pourra uniquement exprimer deux des variables en fonction de la troisième ce qui signifiera qu'il y a une infinité de solutions (une des variables peut être choisie "au pif")