Surjectivité et spectre

[LaBoule13]

Bonjour,
Je cherche à démontrer que l'endomorphisme U de F=C^(infini)(R) est surjective avec U(h)(x) =h'(x)-xf(x) pour tout h appartenant à C^(infini)(R) et x appartenant à R.

J'ai calculé le spectre de U et je trouve R tout entier. Donc cette application n'est pas injective mais pour la surjectivité je vois pas trop comment faire, je suis parti : g(x) = h'(x)-xh(x) et j'aimerais prouver que pour g quelconque, on peut l'écrire de cette forme là mais je bloque.. Suis je sur la bonne voix ? Merci de m'aider =)

[Ben314]

Salut,
C'est quoi "f" dans ta définition U(h)(x) =h'(x)-xf(x)

[LaBoule13]

C'est pas un f mais un h, petite erreur, désolé

[Ben314]

O.K., (en fait j'avais compris vu la suite)

Donc, juste une petite remarque :
Pour g fixée, chercher la (ou les) fonction h telles que h'-xh=g, ben ça porte un nom : ça s'apelle "résoudre une équa. diff"...

[LaBoule13]

Mais si je résous cette équa diff, etes vous d'accord que cela prouvera la surjectivité ?

[Ben314]

Mais si je résous cette équa diff, etes vous d'accord que cela prouvera la surjectivité ?

Ben oui...
En fait, il n'est pas vraiment utile de "la résoudre", mais seulement de montrer qu'il y a au moins une solution h faisant partie de l'ensemble E.

[LaBoule13]

Comment faire pour prouver qu'elle admet une solution sans la résoudre ? Merci pour ton aide en tout cas Ben =)

[Ben314]

Comment faire pour prouver qu'elle admet une solution sans la résoudre ? Merci pour ton aide en tout cas Ben =)

Dans le cas présent, le plus simple est effectivement de "la résoudre", mais ce n'est pas la peine de chercher toutes les constantes d'intégration possibles (l'existence d'UNE solution est suffisante), ni de chercher à avoir une forme super explicite h=... en fonction de g.
Par contre, il faut un peu expliquer pourquoi la solution h que tu propose est bien dans F (i.e. C^oo) pour montrer au correcteur que tu as bien compris le problème (si l'équation avait des solutions qui ne sont pas dans F[PHP], vu le contexte, ça ne serait pas des antécédents de g pour U)

[LaBoule13]

Je vois.. =) Merci bien Ben. A une prochaine