Aidez moi !!! DM T"S Equations différentielles!

[Zmott]

Bonjour, je but sur deux questions pour mon DM qui est à rendre demain.
Voici l'énnoncé:
1. Soit (E) l'équation différentielle: 2y'+3y=0
Déterminer toutes les solution de (E).
2. On note (E') l'équation différentielle 2y'+3y=X²+1
a) Déterminer une fonction f, polynôme du second degrés, solution de (E')
b) Démontrer que si g est une solution de (E'), alors g-f est solution de (E).
c) Réciproquement, démontrer que si g-f est une solution de (E) alors g est une solution de (E').
d) Déterminer toutes les solution de (E')

3. Donner toutes les solutions de l'équation: 2y'+3y=cos(x) (E'').

Je bloque sur les question 2d) et 3. Pouvez-vous m'aider Svp ?!
Merci d'avance .

[Mortelune]

Bonjour.

Si g est solution de E alors il existe h solution de E tel que f-g=h, tu devrais pouvoir en déduire la d).

Pour la 3 tu peux essayer de commencer comme pour la question 2 sauf qu'il faudra trouver une combinaison de sinus et cosinus comme solution particulière.

[Zmott]

Je vois pas du tout comment faire .. Pourriez-vous me donner plus d'indications Svp ?

[Mortelune]

Pour laquelle ?

Si c'est la d : il faut montrer que pour tout h décrit au dessus, f+h solution de E' et qu'il n'y en a pas d'autre (mais pour ça vous avez peut être un théorème de cours).

[Zmott]

Il faut que je reprenne la fonction polynôme déterminé à la question 2a), pour faire h+f ?

[Mortelune]

oui f est bien la fonction que tu trouves au 2)a)

[Zmott]

Et h je le remplace par quoi ?

[Mortelune]

h est solution de E donc tu as du trouver sa forme.

[Zmott]

h est sous la forme de: Cexp^-3/2x ?

[Mortelune]

Oui c'est ça.

[Zmott]

D'accord merci bcp ! :)
Pour la 3. il faut utiliser les formule de duplication ?

[Mortelune]

Peut être, en tout cas il faut que tu trouve une solution particulière de la forme acost+bsint si ça peut t'aider :)

[Zmott]

Je vois pas du tout comment faire, surtout pour introduire des sinus et cosinus à partir de (E'') ..

[Mortelune]

On pose

f est solution de (E") alors

Trouve a et b

[Zmott]

J'en suis à: -2asin(t)+2bcos(t)+3acos(t)+3bsin(t)=cos(t)

C'est bon ?

[Zmott]

après j'ai factorisé: sin(t)(-2a+3b)+cos(t)(2b+3a)=cos(t)

et j'ai résolu le système: -2a+3b=0 et 2b+3a=1

C'est bon ?

[Mortelune]

Oui ça doit être ça comme la méthode est bonne.

[Zmott]

Daccord merci beaucoup !