TS : Exo dériation , limite

[dastiny]

Bonjour !

Voila je suis en TS, mais je suis très mauvais en math particulierement avec les limites. Voila l'exerice :

1 - f(x) = sin(x) x V(x)

f est-elle dérivable en 0 ? justifier.


Voila je me doute qu'il faut utiliser la méthode du taux d'accroissement d'apres le cours.

On fait donc:
1) r = f(a+h) - f(a) / h ( méthode que j'ai a peine comprise )

Ou

2 ) r = f(x) - f(a) / x - a ( la je comprend rien d'ou sort a f(a) ... )

J'arrive donc si c'est juste a :

r = ( sin(a+h) x V(a+h) - Sin(a) x V(a) / h


Voila je ne sais pas comment avancé, si cela est juste.

Si quelqu'un peut m'expliquer la 2ème méthode du Taux D'acroissement, et m'aider à démarrer la suite.
PS : je suis très mauvais sur les limites comme dit ci dessus :)


Merci

[Rebelle_]

Bijour =)

Tu peux en effet utiliser la seconde expression du taux d'accroissement dans la mesure où ici a = 0. On rappelle que dans ce cas-là x = a + h, soit ici x = h.

On a donc f(x) / x soit f(h) / h = [sin(h) . V(h)] / h.
Que se passe-t-il quand h tend vers 0 ?

:)

[dastiny]

Bijour =)

Tu peux en effet utiliser la seconde expression du taux d'accroissement dans la mesure où ici a = 0. On rappelle que dans ce cas-là x = a + h, soit ici x = h.

On a donc f(x) / x soit f(h) / h = [sin(h) . V(h)] / h.
Que se passe-t-il quand h tend vers 0 ?

Ok merci pour la formule :id:



On a donc f(x) / x soit f(h) / h = [sin(h) . V(h)] / h.

Euh c'est un "moins" ici non?


Donc après on obtient [ Sin(x) / x ] - [ V(x) / x ]

Lim sin(x)/x = 0/0 ( x -> 0 )
Lim V(x) / x = 0/0 ( x -> 0 )

:doh:



....



Ok c'est pas ca :hum:

[Rebelle_]

Aïe :/

La limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est 1 : pourquoi ?
Le rapport V(x)/x s'écrit aussi 1/V(x), non ? Et là, si x tend vers 0...

[dastiny]

J'ai honte de poster ça mais je comprend pas comment sa peut faire 1 ^^
Sin(0)=0... x=0.. 0/0.. Je sais que c'est faux mais je résonne comme ça.

[Rebelle_]

Ah, grande question
Ne serait-ce pas au programme de Première ? ^^' Quand j'avais vu ce résultat on avait commencé par tracer notre quart de cercle trigo puis on avait raisonné par inégalités pour trouver un encadrement de sin(x)/x. On conclut avec le théorème des gendarmes.

PS : quelque chose comme ça, http://www.defl.ca/~gastondube/06transcendantes/03trigonometrique/01%20developpement/02b_limite_algebrique.htm.

[dastiny]

Ok merci ! En gros c'est du cours :/

Donc on arrive à 1x0=0.

Donc f est dérivable en 0.

That's right?

[Rebelle_]

Nope, you're not right :/

La limite de 1/V(x) quand x tend vers 0 c'est plus l'infini =P
Et donc ta fonction n'est pas dérivable en 0... N'oublie pas de rédiger ça correctement ;)

[Olympus]

J'ai honte de poster ça mais je comprend pas comment sa peut faire 1 ^^
Sin(0)=0... x=0.. 0/0.. Je sais que c'est faux mais je résonne comme ça.

Intuitivement, parce que est proche de au voisinage de 0 ( teste sur ta calculette pour avoir une idée ), et donc serait proche de 1 au même voisinage .

Sinon, sur le cercle trigo, tu peux voir que pour on a l'inégalité suivante : , qui nous permet de conclure avec le théorème des gendarmes que .

Pour la dérivabilité de , la fonction racine carrée n'est pas dérivable en , et donc ...

Enfin, "0/0" c'est une forme indéterminée et cela ne veut rien dire .

[dastiny]

Décidement c'est pas mon truc...


Merci de ton aide en tout cas :)

[Rebelle_]

Coucou =)

Je pense que j'ai une méthode plus simple pour étudier la limite de sin(x)/x en 0.
Le principe est le suivant. Quand on se retrouve face à une indétermination de la forme "0/0" pour une fonction f en un point a, on peut écrire f(x) = [ g(x) - g(a) ] / (x - a).
Pour cela, on suppose que pour tout x du domaine de définition de f on ait x différent de a et la fonction g dérivable en a (*). Le rapport que j'ai donné ci-dessus est le taux de variation de la fonction g au point a, c'est-à-dire que la limite quand x tend vers a de f(x) est égale à la limite de [ g(x) - g(a) ] / (x - a) quand x tend vers a, c'est-à-dire à g'(a).

On va regarder ce que ça donne avec notre exemple.

f(x) = sin(x)/x soit [ sin(x) - sin(0) ] / (x - 0). Si g(x) = sin(x), alors on a aussi [ g(x) - g(0) ] / (x - 0) ; or la fonction g est dérivable sur R, et donc en 0, telle que g'(x) = cos(x). On a donc g'(0) = 1, donc la limite quand x tend vers 0 de [ g(x) - g(0) ] / (x - 0) est égale à g'(0) et donc à 1.
Ainsi, la limite quand x tend vers 0 de sin(x)/x vaut 1.

Comprends-tu ?

(*) : si g est dérivable en a alors g'(a) = lim_{ x vers a} [ g(x) - g(a) ] / (x - a).

:)

[Olympus]

Salut Rebelle !

Le soucis avec la preuve par dérivation, c'est que justement la formule de dérivation de la fonction vient de la limite , car :



( avec )

Et on ne peut pas conclure ( au niveau lycée au moins ) que cette limite est égale à sans savoir que .

En gros, ce que tu démontres, c'est juste qu'il y a une équivalence entre la formule de dérivation de la fonction , et du fait que .

Donc la preuve par le cercle trigo me semble être la preuve la plus rigoureuse possible au niveau lycée ( quoique, l'argument "... ces surfaces sont clairement contenues les unes dans les autres..." est discutable ) .

[Rebelle_]

Oui tu as raison... On va oublier la remarque de mon cours alors ^^'