Formule de Gauss

[Reynolds]

Bonjour j'ai quelque petites questions:

_ Trouver que =12Arctan +8Arctan -5Arctan

La déduire de la formule de Gauss

Je n'ai pas d'idée je me suis lancer dans des calculs de tangente mais j'arrive sur des fractions infames.

_ Et je dois démontrer Arctan( sh(x))= Arcsin (th(x))

Mais je compose avec la tangente et je trouve Tan( Arctan( sh(x)))= sh(x) et Tan( Arctan( th(x)))=
Ce qui ne marche pas...

Merci d'avance.

[Ericovitchi]

d'habitude, les étapes de ce problème classique sont :

1. Calculer :
arctan 2 + arctan 5 + arctan 8
puis resoudre l'equation :
pi/4= arctan(x - 3) + arctan(x) + arctan(x+ 3)

2. deduire les formules suivantes :
pi/4= 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
pi/4 = 12 arctan(1/18)+ 8 arctan(1/57)-5 arctan(1/239)

Ça t’aidera peut-être

[Ericovitchi]

ca s'appelle les formules machin.
Pour les passionnés, il y en a un sacré paquet : lien


(mais oui John Machin (1680-1752) il a existé)

[Ericovitchi]

ha ça y est j'ai trouvé dans la littérature une formule générale. Je ne me retiens pas de vous la donner. Figurez vous que :



avec les nombres de Fibonacci

et même

C'est pas beau ça !

[Ben314]

Salut,
Pour ta deuxième question :

_ Et je dois démontrer Arctan( sh(x))= Arcsin (th(x))

la méthode "à la bourrin" quand on en a plein le c.. de chercher des formules de trigo "qui vont bien", c'est de dériver, ce qui a pour effet de faire disparaitre tout les ArcMachin de la formule (par contre, il faut souvent s'attendre à des formules un peu pourries au départ, mais ici, c'est pas trop le cas...)

Bien évidement, ne pas "oublier" de regarder sur quel(s) intervalle(s) les deux trucs sont dérivables ni de vérifier que la formule de départ est valable pour au moins un x pour pouvoir déduire : "mêmes dérivées" => "mêmes fonctions"

[busard_des_roseaux]

_ Trouver que =12Arctan +8Arctan -5Arctan

Bonsoir,

1er truc à vérifier:

demander si la somme à droite à la calculatrice , qui est une combinaison
linéaire de longueurs d'arcs de cercle "reste" bien entre et ,ie , entre -1,57 et 1,57

2ème point
comme ce sont des longeurs d'arcs, tu leur applique l'exponentielle
avec Moivre



modulo un facteur réel positif

il ne reste plus qu'à demander à Wolfram de développer ces formules
cartésiennes du binôme de Newton

d'où viennent ces formules merveilleuses ?

tout simplement de la forme trigo


et avec Moivre


donne
et

[Reynolds]

La formule à l'air sympa mais c'est pour un dm donc je pense que sa n'est pas la méthode voulue, je n'ai pas compris la première pouvais vous la réexpliquer?
Et oui la première question etait demontré la formule de machin.

[busard_des_roseaux]

_ Et je dois démontrer Arctan( sh(x))= Arcsin (th(x))

pour la formule (2) , comme il s'agit de fonctions réciproques,

la 1ère chose à faire et de mettre en relation tangente et sinus

c'est immédiat car



ensuite comme y=sin(x) , x=arcsin(y)





bon, je tombe pas sur la bonne formule, mais tu vois le principe :ptdr:

[busard_des_roseaux]

La formule à l'air sympa mais c'est pour un dm donc je pense que sa n'est pas la méthode voulue, je n'ai pas compris la première pouvais vous la réexpliquer?
Et oui la première question etait demontré la formule de machin.

on va y aller doucement !

soit

ce point est situé du côté x>0
son module, on s'en bat l'oeil, et son argument
est donné par



c'est un point qui est "voisin" de l'axe des x.

a la puissance 12

a un grand module (on s'en fiche) et un angle polaire de

qui a le bon goût de rester entre 0 et

de la même façon

est l'angle polaire de


tu remarque que leur est grand et leur
petit. ce sont des points du plan complexe qui sont quasiment des réels
positifs...avec un angle polaire presque nul

[busard_des_roseaux]

modulo R+

j'ai demandé ensuite à ma calculatrice ce que valait le terme de droite
(les binômes):


119209289550781250 + 119209289550781250 i

donc un argument de 45°

[busard_des_roseaux]

(1)

x=arcsin(y)




ensuite on inverse (1)




x=arctan(y)

[busard_des_roseaux]

dernier truc: faire attention avec arccos qui n'est pas paire
une bijection peut pas être paire :zen: