Probleme Arithmétique Spé Maths

[rm01]

Bonjour a tous. Voila le problème pour lequel j'aurai besoin d'un petit coup de pouce:

On écrit les entiers 1,2,3, ...,1 000 000 sur un tableau. Puis on efface chaque entier en le remplaçant par la somme de ses chiffres (par exemple 998 est remplacé par 26). Et on recommence: on remplace chaque entier obtenu par la somme de ses chiffres ... Et ainsi de suite jusqu'à n'avoir plus que des entiers à un seul chiffre sur le tableau.
Y-a-t-il, à cette dernière étape, plus de 1 sur le tableau ou plus de 5 ?

Pour l'instant j'ai trouvé quelque petite astuce pour réduire le travail mais en gors cela revient a les compter :hum: donc j'espère que vous pourrez m'aidez a trouvé une méthode qui permet de trouver la solution d'une facon intelligente ;). Merci D'avance.

[girdav]

Parmi tous ces nombres écrits au tableau celui qui a la plus grande somme est et la somme des chiffres correspondants est . Il ne faut que trois coups donc pour obtenir un seul chiffre.

[rm01]

Oui j'ai trouvé ça moi aussi seulement cela ne m'avance pas beaucoup pour le problème. J'ai aussi trouvé que pour obtenir un il faut obligatoirement que lorsque j'arrive a l'étape deux chiffres ce chiffre corresponde à 10 en revanche pour obtenir 5 a cette même étape les résultats 14 ; 23 ; 32 et 41. Ce qui me fait penser qu'au final j'aurai plus de 5 mais est-ce exact?

[beagle]

perso j'ai rangé ces nombres sur un tableau à 9 rangées qui commence comme suit:
1 10 19 28
2 11
3 12
4 13
5 14
6 15
7 16
8 17
9 18 27

Cela semble donner le mème nombre de 1 et de 5 en chiffres des unités.
(Il y a un chiffre de la série 0 à 9 qui passe son tour sur chaque colonne)

Reste les 1 obtenus en dizaines, tous les 1 vont tomber exemple 62136 donnera 18, alors que girdav nous dit qu'on ne dépassera pas les 54 donc déjà beaucoup moins de 5 dans les dizaines par rapport aux 1?
Pas trop vérifié que je ne disais pas de bétises.
A voir.

64 donnera 10
6004 donnera 10, et 11,12,à suivre
5104 donnera 10 et 11, 12,

énormément de 1 en dizianes que ne compensera jamais les 5 en dizaines,

J'avais très mal vu le chiffre des dizaines,
on doit bien mieux systématiser, mais là c'est dodo pour moi.

[gigamesh]

Bonsoir,
quelle inventivité dans cet exercice !
Mais ne te laisse pas impressionner par le fait qu'il y a 1 million de chiffres...

Juste une piste : quand tu additionnes les chiffres d'un entier, ça ne te rappelle pas un truc vu en CM2 ? (et revu en 6e, 3e et spé maths...) Du genre critère de div....

Prends un nombre, effectue l'opération (prendre la somme des chiffres et recommencer jusqu'à ce que le résultat s'écrive avec un seul chiffre), et compare avec le reste de la division par ... <--- le chiffre mystère.

Bon courage !

[beagle]

998 est remplacé par 26 et non par 8, d'après l'énoncé.

[gigamesh]

Bonsoir, 998 est remplacé par 9+9+8=26,
puis 26 est remplacé par 2+6=8,
et on s'arrête car le nombre 8 ne s'écrit qu'avec un seul chiffre.

A la fin de l'algorithme, le tableau contient un million de nombres, chacun s'écrivant avec un seul chiffre.

Allez, un petit indice :
la division euclidienne de 1000000 par 9 s'écrit
1000000 = 9 * 111111 + 1

[beagle]

oups , pas fait cet exo là moi,
j'ai lu trop vite, d'abord que 998 passait à 26
puis girdav faisait passer 99999 à 54.(J'avais mème pas compris son trois coup)
Oups, alors ça change un peu parce que dans mon tableau alors là je suis bon finalement dans mes colonnes c'est plus facile, c'est comme si que ...

[mathelot]

Bj,

autre façon:

la suite est arithmétique de raison 1

la suite des résidus est un compteur périodique modulo 10

[rm01]

Bonjour, je suis toujours bloqué sur ce problème. J'ai beau me tortillé l'esprit je n'arrive pas a mettre en rapport l'énoncé avec les critères de divisibilité? De même pour l'indice de la division euclidienne :help: Et quel est ce chiffre mystère gigamesh ? :help:

[rm01]

Après un petit moment de recherche de recherche je me demande si la solution du problème n'aurai pas un rapport avec le chiffre 9. En effet: A la fin de la manipulation il me reste un million de termes composé d'un seul chiffre compris entre [1;9] soit 9 possibilités. De plus grace aux indices de gigamesh j'ai compris que chaque somme de chiffre qui compose un nombre et égale au reste de sa division par 9:
1652=> 1+6+5+2= 14 => 4+1= 5
1652= 183*9 + 5
Cela étant vrai pour tout les nombres sauf pour ceux qui une fois réduit a un seul chiffre donne 9 (exemple: 504=>9; 504=56*9 +0)
Meme si je ne voit pas en quoi tout cela peut m'aider dans ce problème ça m'amène tout de même a penser qu'au final j'aurai autant de 5 que de 1!
Suis-je sur la bonne voie? Si comment me servir de ce raisonnement pour résoudre clairement ce probleme car là j'ai tout de même l'impression de mettre légèrement égaré du sujet :doh: . Merci d'avance pour vos réponse