Petit Pb proba

[tristanlat]

Bonjour! j'ai un petit besoin d'aide !
Tout d'abord : préliminaire
Une urne contient 4boules : 3blanches et une noire.A chaque tirages, si on tire la noire on la remet, si on tire une blanche on la sort de l'urne.Soient Un(respDn,Tn,Qn) l'événement "au n-ième tirage, il y a une boules dans l'urne"(resp 2boules,3boules,4boules). J'ai déterminé facilement Un ( et vérifier la véracité du résultat)....
Enoncé de mon problème
Soit S la v.a. correspondant au rang du tirage où,pour la première fois,il y a une boule dans l'urne.Quelque soit n appartient aux entiers naturels non nuls, déterminer P(S=n) grâce à la suite P(Un)...
Pour n=1 et n=2
ça , j'ai fait et il est claire que c'est P(S=1)=P(S=2)=0.
Pour n=3
ça aussi , P(S=3)=P(U3)=1/4 (si pour ces cas vous voulez que je justifie dites le moi ...)
Quelque soit n appartient aux entiers naturels supérieurs ou égaux à 4:
(On va noter : sachant par : "/sac/" l'événement contraire de X par "bar(X)", intersection par "/int/" inclusion par "<" et union par"/uni/")
(S=n)= bar(U3)/int/bar(U4)/int/....../int/bar(Un-1)/int/Un
or je sais que U3<U4<.....<Un-1 donc Bar(Un-1)<......<bar(U4)<bar(U3)
donc
bar(U3)/int/bar(U4)/int/....../int/bar(Un-1)=bar(Un-1)
donc
(S=n)=bar(Un-1)/int/Un
donc
P(S=n)=P(bar(Un-1)/int/Un)=P(Un/sac/bar(Un-1))*P(bar(Un-1))
or,
P(Un/sac/bar(Un-1))=P(Un/sac/(Dn-1/uni/Tn-1/uni/Qn-1))=
P(Un/int/(Dn-1/uni/Tn-1/uni/Qn-1)) / P((Dn-1/uni/Tn-1/uni/Qn-1))=
P((Un/int/Dn-1)/uni/(Un/int/Tn-1)/uni/(Un/int/Qn-1)) / P(bar(Un-1)) =
P((Un/sac/Dn-1)*P(Dn-1) / P(bar(Un-1)) = P(Dn-1)/ (2P(bar(Un-1))
donc
P(S=n)=(1/2) * P(Dn-1) et je connais la valeur de Dn-1

L'ennuie c'est que ça ne doit pas être ça puisque ensuite on me dit de calculer E(S) et qu'au lieu de trouver environ 4,5,,6 je trouve 25! pourtant je ne me trompe ni sur E(S) ni sur P(Un) et P(Dn)!
merci de me dire si vous voyez ce qui cloche!

[Ben314]

Ben, tout ce que tu écrit me parrait parfaitement juste...
Tu as trouvé quoi pour p(Dn) ?

[tristanlat]

euh P(Dn)= 3*(1/2)^(n-2)-4*(1/3)^(n-2)+6*(1/4)^(n-1)
et je pense que c'est bon puisque ça marche pour pour n=0 n=1 et n=2...
ensuite j'ai E(S)= somme de n=3 à infini de n*P(S=n) et en me servant des théorèmes sur les séries géométriques et ses dérivées successives...patatra! :)
merci d'avoir pris la peine de regarder en tout cas ;)

[tristanlat]

c'est bon ! plus besoin de chercher! erreure débile mais classique inversion de signe - et de signe + ... et dire que j'ai passé ma journée la dessus et que j'ai dû le relire 100 fois s'en m'en rendre compte ! :mur:
Enfin l'essentiel c'est que ça soit pas une erreure de raisonnement! merci encore à toi d'avoir lu et confirmer ma démarche ;)

[Ben314]

Pour , je trouve bien la même chose.
Tu as donc :
pour
D'où, en utilisant le fait que si , on a :




Bon, si t'as trouvé, c'est bon... j'ai passé 15mn à trouver la mienne (d'erreur)...