Problème en Spé...

[Morgane2507]

Bonjour les Matheux!

J'ai un exercice de spé à faire pour demain, noté evidemment, et je bloque sur les dernières question. C'est peut être parce que j'ai des fautes dans les questions précédentes. Je vous poste l'exercice et mes réponse, merci d'avance pour votre aide.

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v).
On considère l'application f du plan, dans lui même, qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe:

z'=(1/2)iz+(1-3i)/2

1-Montrer que f est une similitude direct, trouver k, ;), et l'angle ;).

REPONSE:
z'=az+b
k=|a|=1/2
;)=arg(a)=;)/2
;);)point invariant=1-i

2-Mo le point d'affixe 1+4;)3+3i. Pour tt entier naturel n, le pt Mn+1 est défini par

Mn+1=f(Mn)

a) Calculer ;)Mn en fct de n

REPONSE
Mn+1=f(Mn)
;);)Mn+1=f(;)Mn)
;)|zn+1-z;)|=|1/2 i|*|zn-z;)|
;);)Mn+1=(1/2)(;)Mn)
;)suite géo de raison 1/2
;);)Mn=;)M0*(1/2)n

;)M0=8

;)Mn=8*(1/2)n


b)Placer M0 et construire M1,M2, M3, M4

REPONSE
Je ne sait pas comment être précise sur une figure, car il y a des racines... Peut-être faut-il utiliser un cercle?...

c)A partir de quel rang n0 a-t-on: "pr tt n;)n0 , Mn appartient au disque de centre ;) et de rayon r=0.05"?

REPONSE
8*(1/2)n;)0.05
2n;)160
n;)(ln 160)/(ln 2)

3-a) Calculer M0M1

REPONSE
Je trouve 29/2+2;)3, mais ce résultat me semble incohérent. Le problème est que je ne trouve pas mon erreur

b) Pour tt n, on note dn=MnMn+1.
Montrer q dn est une s.géo dont on précisera le 1er terme et la raison

REPONSE
dn+1=(1/2)dn
;)dn=d0*(1/2)n
Mais je ne suis pas sur de mon d0 (cf au dessus)

c) On note ln=d0+d1+...+dn
Calculer ln en fct de n et en déduire sa limite en +;)

C'est a partir de là que je bloque.


Voilà c'est tout! Merci d'avance pour vos réponses!

[Ben314]

Salut,
Le 1) est juste.

Le 2)a) est juste mais la rédaction ne va pas : il ne faut pas écrire car f est une fonction que l'on applique à des points du plan, pas à des réels.

b) Pour le dessin, tu fait "au mieux" en calculant les coordonnées de M0 à la machine, puis en utilisant la similitude pour construire "géométriquement" M1, M2, M3 et M4.

c) O.K., mais ça serait bien de faire le calcul de (ln 160)/(ln 2) (à la machine) pour pouvoir avoir une valeur numérique (rappel : n est évidement un nombre entier...)

3) a) Effectivement, tu t'est trompé.
En fait, pour calculer M0M1, tu n'est pas obligé de calculer M1 : la conaissance de et des éléments caractéristiques de ta similitude sont suffisants.

b) : O.K.

c) Tu as à faire à la somme des premiers termes d'une suite géométrique donc...

[Morgane2507]

2-b)Merci, je n'avais pas du tout penser à utiliser la similitude! (qui a dit que j'étais tête en l'air?)

c) Dans ce cas il y a un problème, car je trouve n~7.3, qui n'est pas entier. Faut il que j'arrondisse n, et donc que n=8?

3-a) J'ai été absente au dernier cours, peut-être que j'ai loupé une explication, car je ne vois pas comment faire. Peux-tu juste me donner le début stp?

c) "1er terme"*(1-d puissance "nbre de termes")/(1-d)

[Ben314]

Pour le c), tu ne trouve pas "n environ égal à 7,3" mais "n supérieur ou égal à 7,3" ce qui, vu que n est entier, peut s'écrire plus simplement...

Pour le 3)a) je ne pense pas que ce soit un problème de cours.
Tu peut évidement calculer l'afixe de M1 (en utilisant la définition de f et l'affixe de M0) puis calculer la distance entre les deux avec la formule racine((x1-x2)²+(y1-y2)²).
Je te proposait de faire un peu moins de calcul en considérant que, dans le triangle tu connait déjà les longueurs et (question 2.a) ainsi que l'angle en (c'est celui de la similitude) donc...

Pour le c), c'est "presque" ça : ce n'est pas d qui apparait dans la formule, mais la raison de la suite (trés souvent notée q et qui, ici vaut 1/2)