Exercice intégrale

[Pioux]

Bonjour à tous,

Pouvez-vous me corriger et m'aider s'il vous plait.

Partie A :
f(x)=;)(x)e^(1-x) sur [0;+inf[

1. Calculer la limite en +inf de f, interpréter graphiquement.
Je trouve que f tend vers 0, donc f admet une asymptote horizontale d'éuqation y=0

2. Calculer f'(x) pour x>0, en déduire les variations de f .
J'ai f croissante sur [0;(1/2)] et décroissante sur [1/2 ; +inf[

Partie B :
Un = de n à n+1 de f(t) dt

1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul f(n+1)<=Un<=f(n)
Je n'arrive pas à le démontrer

2. En déduire que (Un) est décroissante.

3. Prouver la convergence de la suite (Un) et déterminer sa limite.

[Ericovitchi]

f(n+1)<=Un<=f(n) ?

tu sais que la courbe est décroissante dès que n > 1/2
l'intégrale c'est l'aire sous la courbe entre n et n+1
Dessines les deux rectangles qui passent par les points n, n+1, f(n), f(n+1)
Dis simplement que l'aire sous la fonction entre n et n+1 est comprise entre celle du rectangle inférieur f(n+1) et celle du rectangle supérieur f(n)

[Nightmare]

Salut !

Fais un dessin. On intègre f sur le segment [n,n+1]. Sur ce dernier, f est croissante. L'aire sous la courbe est donc comprise entre l'aire du rectangle de longueur (n+1-n)=1 et de hauteur f(n), et l'aire du rectangle de longueur 1 et de hauteur f(n+1).

Plus formellement, par croissance de f, sur [n,n+1] on a pour tout x.

On en déduit en intégrant sur [n,n+1] que .

Conclus.

[gigamesh]

f étant décroissante sur [1/2;+inf[, tu peux écrire pour tout n entier >0
f(n+1)<=f(x)<=f(n) pour x dans [n;n+1] ;
en intégrant sur [n;n+1], tu trouves l'inégalité demandée.

[Pioux]

Ah oké, je pensais qu'il fallait faire une démonstration avec d'autres inégalités. Oké ben merci, pour les autres questions ca ira. Merci bien