1S - Etude de fonctions cos & sin

par **redui** » 04 Mar 2010, 16:59

Bonjour !
Voilà mon exo :

Soit f(x) = x - sinx I = [O;+infini[

1.a. Etudier les variations de f (OK)
1.b en déduire que, pour x >(ou egal) 0 : sinx <(ou egal) x (OK : vu que f est croissante).

2. démontrer que : pour x >(ou egal) 0 : cosx - 1 + 1/x² >(ou egal) 0. (j'ai calculé la dérivée en espérant tombé sur f ou f' mais rien ^^', en plus de ça la calculette me dit que ça peut être négatif : une idée ?)

par **Euler07** » 04 Mar 2010, 17:06

La dérivée peut effectivement t'aider. Tu dois faire f(0) et te rendre compte que c'est 0 (le minimum)

par **redui** » 04 Mar 2010, 17:10

Le minimum de f est bien 0 puisque sinx <(ou egal) x

Cependant lorsque je calcule la dérivée je tombe sur -sinx - 2/x^3.

Comment passé de l'un à l'autre ?

par **Ericovitchi** » 04 Mar 2010, 17:22

Drôle de dérivée !
la dérivée de x - sinx est toute simple, la dérivée de x c'est 1 et la dérivée de -sin x c'est - cos x.
un petit dessin :

par **redui** » 04 Mar 2010, 17:27

Je parlais de la dérivée pour la question 2 ;)

par **Ericovitchi** » 04 Mar 2010, 17:38

ha oui excuses moi.
donc cosx - 1 + 1/x².
elle est presque toujours toujours négative mais elle émerge de temps en temps autour des points
où cos x =1

ça veut dire que cosx - 1 + 1/x² >(ou egal) 0 n'est pas vrai. tu n'as qu'à remplacer x par pi ou (3 pi ou (2k+1)pi ...) par exemple pour voir que c'est négatif

par **redui** » 04 Mar 2010, 17:42

Justement je bloque.
Comment démontrer que cosx - 1 - 1/x² > 0 avec ça ?

par **Ericovitchi** » 04 Mar 2010, 17:46

ha bon c'est cosx - 1 - 1/x² ?? avec un moins

si tu changes l'énoncé, ça change tout.

(et c'est faux aussi d'ailleurs. Tu peux montrer que cosx - 1 - 1/x² < 0 si tu veux)

C'est facile, le cos est toujours inférieur à 1 donc cos x-1 est toujours négatif ou nul et quand on lui enlève en plus un 1/x² c'est à fortiori vrai.

par **redui** » 04 Mar 2010, 17:55

Désolé il y a bien un plus ^^'
Se référer au premier post !

par **Ericovitchi** » 04 Mar 2010, 18:11

et bien donc je t'ai déjà répondu

par **redui** » 04 Mar 2010, 18:15

La question est donc fausse ? '_'

par **Ericovitchi** » 04 Mar 2010, 18:17

tu es sûr que tu as bien écris l'énoncé ?

par **redui** » 04 Mar 2010, 18:24

Oui oui j'ai bien vérifié, elle me paraissait aussi bizarre ^^'
Cependant l'exo n'est pas fini voilà les questions d'après :

Etudier le sens de variation de h(x) = sinx -x + x^3/6 sur [0;+infini[

En déuire que, pour tout reel x positif x - x^3/6 <(ou egal) sinx <(ou egal) x

par **Ben314** » 04 Mar 2010, 18:57

Salut,
A mon avis, il y a (encore) une faute de frappe dans l'énoncé...
Le seul truc inteligent (et classique) qui me vient à l'esprit pour le 2), c'est :
"Montrer que, pourt tout x>0, on a cos(x)-1+x²/2>0" (inégalitées larges)

P.S. Vu la question suivante, je suis a peu prés sûr que la 2) et celle ci desuus (ou plutôt devrait être...)

par **redui** » 04 Mar 2010, 19:00

Je continue, l'exo, je m'informerai.

Si j'ai des problèmes, je reposterai. Merci en tout cas.

par **Ben314** » 04 Mar 2010, 19:20

Le petit problème c'est que dans l'exercice, tu vas avoir besoin du résultat de la question 2) pour faire la 3)....

Donc prend la question 2) que je te suggère...

par **redui** » 04 Mar 2010, 19:23

c'est ce que j'ai l'intention de faire ^^

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