Problème d'égalité

[xx-paramore-xx]

Voilà j'ai un dm de mathématiques à rendre lundi prochain et je sèche sur la première question :

énoncé :

On note S(x) l'aire (hachuré), limitée par les trois demi-cercles de diamètres respectifs [AB], [AM] et [MB]. On suppose que AB = 10 et AM = x. Le but du problème est de trouver où placer le point M pour que l'aire hachurere soit maximum.
a) calcul de S(x)
Vérifier l'égalité S(x) = pi /4 *x*(10-x)
Trouver le maximum de S(x) revient alors à trouver celui de f(x)= x*(10-x)

( Le dessin représente un grand demi-cercle contenant deux autres demi-cercles à l'intérieur et la partis hachuré est le contour des deux petits demi-cercles)

je crois que j'ai le début mais je n'arrive pas du tous a simplifier pour trouver S(x) = pi /4 *x*(10-x).
Pour moi le début serai ((pi*5²)/2)-((pi*(x/2)² /2) + (pi*(10-x)² /2))
Le grand demi-cercle - les deux petits.

Merci d'avance

[Sylviel]

L'idée est la bonne mais j'ai un doute sur ta mise en équation...
L'aire du grand cercle et du premier petit sont ok mais la troisième me semble problématique. Pour la simplification rien d'extraordinaire, commence par factoriser par Pi, puis peut-être par 1/2, après tu y verras un peu plus clair je pense.

[xx-paramore-xx]

Merci pour la réponse, j'ai réussi à simplifier ( j'ai trouvé 25pi ) mais je ne comprend toujours pas comment démontrer que s(x) = pi/4*x*(10-x) car je pensais retrouver à peu près la même équation pour démontrer que c'était égal. A près peu être que je me suis tromper dans mes calcules ...

[Sylviel]

visiblement oui. Donnes les nous que l'on puisse les vérifier.

[xx-paramore-xx]

((pi*5²)/2) - ((pi*(x/2)²/2)) + (pi*((10-x)/2)²)/2)
(pi*25/2) - ((pi*(x/2)²/2)) - (pi*((10-x)/2)²)/2)
(pi*25/2) - ( pi* ((x²/4) - ((100-x²)/4)/2)
(pi*25/2) - (pi* ((x²-100-x²)/4)/2)
(pi*25/2) - (pi*(-100/4)/2)
(pi*25/2) - (pi*(-25)/2)
(pi*(25-(-25)/2)
(pi*50)/2
= 25pi

voilà