Courbes.Ensemble de points

[Chouyi]

Bonjour,
Pourriez vous m'aidez pour cet exercice,je sais vraiment pas comment faire ...

f est la fonction définie sur ]-infini;0[ U ]0;+infini[ par f(x) = 1- (1/x) - (2/x au carré ). C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,vecteur i ,vecteur j)

1)a)En écrivant f(x) = 1- (x+2)/(x au carré) ,trouver la limite de f à droite en zéro et à gauche en zéro.
b)Quelles sont les limites de f en + infini et - infini ?
2)Démontrez que C coupe l'axe des abcisses en deux points A et B dont vous préciserez les coordonnées.
3)a)Calculez f'
b)Etudiez les variations de f et dressez son tableau de variations.
c)Tracez le courbe C.
4)Sur la même figure que la courbe C ,construisez la courbe représentative H de la fonction h définie sur ]- infini ;0[ U ]0; + infini [ par h(x) = 1- 1/(2x)
5)a)Dicutez suivant les valeurs de m , le nombre de solutions de l'équation f(x)=m
b)Lorsque la droite y=m coupe C en deux points M et N distincts ,calculez , en fonction de m,les coordonnées du milieu I de [MN]
c)Prouvez que I est un point de H.

merci d'avance

[annick]

Bonjour,
bon, pour commencer la question 1)a), tu as f(x) = 1- (x+2)/(x²),

quelle est la limite de x² en 0 ? Quelle est la la limite de 1/x² ? Quelle est la limite de x+2 ? quelle est alors la limite de (1/x²)(x+2) ? Quelle est donc la limite de 1-(1/x²)(x+2) ?

[Chouyi]

Mais il faut séparer la limite a droite et la limite à gauche en zéro , nan ?

[annick]

Oui, c'est vrai, mais dans le cas présent, comme on a x² au dénominateur, que l'on soit du côté positif ou du côté négatif de zéro, cela revient au même puisque c'est élevé au carré

[Chouyi]

Je trouve donc que la limite à droite et à gauche en zéro de f(x) est + infini .
Est ce que la limite en + infini de x+2 est +infini ?

[annick]

Bon, pour moi, en 0, c'est -00 car:
x² tend vers 0, 1/x² tend vers +00
x+2 tend vers 2
(x+2)(1/x²) tend donc vers +00

mais f(x) = 1- (x+2)/(x²), on a donc -(x+2)/(x²) qui tend vers -00 et si on ajoute 1, ça fait toujours -00. D'accord ?

Sinon, oui, la limite de (x+2) tend bien vers +00 en +00, mais je pense que tu aurais plus intérêt à reprendre la première expression de ta fonction pour trouver les limites aux infinis.

[annick]

Et au fait, pour vérifier tes limites, trace ta fonction à la calculatrice et vérifie si ce que tu dis est juste.

[Chouyi]

Comment démontre t-on la question 2 s'il vous plait ?

[Chouyi]

Ok merci Annick , j'ai trouvée mon erreur ...
Sinon je trouve + infini en + infini et - infini en -infini . J'ai regardée sur la calculette et ça a l'air d'être bon pour +infini mais pour -infini , j'ai un doute.
Pouvez vous me dire si c'est bon ?

[annick]

Non, non, je ne suis pas d'accord avec toi :

f(x)=1-(1/x)-(2/x²)

Donc en +00, comme en -00, 1/x tend vers 0 et -2/x² tend vers 0, donc f(x) tend vers 1, ce que je retrouve aussi sur ma calculatrice.