Dérivée de fonction avec ln

[mathieu156]

Bonjour,

J'aurais des questions à vous poser:

Je dois aider un jeune qui doit trouver les variations de:
f(x) = [ ln(2x +1) ] / ( x+2)

J'ai donc pensé à dériver, pour moi f est de la forme u * v
avec: u = ln (2x+1) u'= 2 / (2x+1)
v= 1/ (x+2) v'= -1 / (x+2)2

Je trouve donc (u*v)'= u'v + uv' = [2 / (2x+1) * (x+2)] + [ -ln (2x+1) / (x+2)2]

1. Suis-je bien parti ?

Vu le domaine de définition induit par la condition 2x+1 > 0
On a 1/ (x+2) > 0

Et donc trouver le signe de f' revient à avoir celui de :
2 / (2x+1) -ln (2x+1) / (x+2)2]
2. correct ?

J'ai trouvé qu'il faut que pour x = environ 1.95 (ou 39 e /54) ça s'annule, et si plus grand, f' est négative

j'aurais souhaité ,dans le cas où ma réponse n'était pas trop mauvaise, connaitre une façon rigoureuse de répondre à ces questions ...

Merci

[Anonyme]

Je pense que tu es mal parti. Ce n'est pas un produit de fonction mais une composée
et (g o f)'= f' * g'(f)
ici g est le logarithme et f la fonction x -> (2x +1)/(x+2)

Là tu seras bien parti :)

[Anonyme]

pardon petit bémol
Ma réponse ne vaut que si tu voulais écrire;

ln ( (2x+1)/(x+2) )

Tu peux préciser s'il te plaît ?

[mathieu156]

la fonction est [ ln(2x +1) ] / ( x+2) :happy2:

[Anonyme]

Moi je trouve [2 / (2x+1) * (x+2) -ln (2x+1) ] / (x+2)^2

Je pense que t'as une petite erreur de parenthèse

Pour l'expliquer peut-être peux-tu utiliser plutôt la définition de la dérivée d'un quotient (f/g)'.
Pour calculer f' utlise la définition de la dérivée d'une fonction composée.

[Anonyme]

Merci pour la précision je me doutais que j'étais pas dans la bonne voie

[mathieu156]

Moi je trouve [2 / (2x+1) * (x+2) -ln (2x+1) ] / (x+2)^2

Je pense que t'as une petite erreur de parenthèse

es tu d'accord avec le reste du raisonnement ?

par exemple pour trouver si c' est positif ou négatif ...

merci

[Anonyme]

Salut !

Oui ton raisonnement est correct mais état donnée l'erreur de parenthèse, le signe de f' est celui de:
2 / (2x+1) * (x+2) -ln (2x+1)
C'est à dire celui de (2x+4)/(2x+1) - ln(2x+1)

[mathieu156]

je suis d'accord ;)

dans ce cas je trouve que c'est négatif à partir de environ 1.95
et positif en dessous ( sur [0 , 1.95 [ )

je trouve ceci mais comment l'exprimer de meilleure manière ?
je peux expliquer au gamin que j'ai trouvé ce résultat par encadrement après avoir dit que par bijection il existait forcément une réponse entre 1.9 et 2

sachant que:
c'est continu et dérivable
que quand x=1.9 c'est positif
et nég pour x=2

?

merci en tout cas

[mathieu156]

Bonsoir,

personne pour confirmer ou infirmer mes propositions ?

[Sa Majesté]

Salut



f'(x) est du signe de

Tu peux étudier g pour trouver son sens de variation et en déduire son signe (et donc celui de f')