Distribution de probabilités

[xenkheul]

Bonjour,

Mon souci concerne l'établissement d'une distribution de probabilités.

L'énoncé est le suivant :

a) Fait.
b) Fait.

c) Un zoo dispose de 3 cages numérotées de 1 à 3. Les cages 1 et 2 peuvent contenir 3 animaux. La cage numéro 3 peut contenir 6 animaux. Dans la cage numéro 3 se trouvent 6 primates (3 singes et 3 guenons). On décide de répartir au hasard les 6 primates de la cage 3 dans les cages 1 et 2. Soit Y le nombre de guenons dans la cage 1. Établir la distribution de probabilités de Y. On note p le vecteur correspondant à cette distribution.

d) Montrer (dans la question b, je trouve une matrice des transitions P) que p est une distribution de probabilités constantes pour la matrice des transitions P.

Je sèche sur la question c) :s
Pour la question d), j'envisageais de calculer p x P et montrer que c'était égal à p ?

Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez !

Pierre

[Ben314]

Pour la question c), je trouve qu l'énoncé est ambigüe (comme souvent en proba). Ce que je comprend, c'est que l'on dresse la liste des répartitions possibles et que l'on en choisie une au hasard.
Sauf que dans ce cas, le mot "répartition" n'est pas clair : est ce que une répartition est :

"Un guenon et deux singes dans la 1 et deux guenons et un singe dans la deux" dans ce cas il n'y a que 4 répartition possible
OU BIEN
"Les guenons 1,3 et le singe 3 dans la cage 1 et la guenon 2 et les singes 1,2 dans la 2" dans ce cas il y a 8 répartitions possibles

Et les résultats ne sont pas les mêmes dans les deux cas :
cas 1) P(Y=0)=P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=1/4
cas 2) P(Y=0)=P(Y=3)=1/8 ; P(Y=1)=P(Y=2)=3/8

P.S. le cas 2 semble évidement plus interessant mathématiquement....
P.S.2 pour le d) il faudrait plus d'information, mais, pour le moment, je doute que p(réel ?) fois P(matrice ?) soit égal à p(réel)....

[xenkheul]

J'ai du mal m'exprimer :)

Concernant la question c), il s'agit de traiter tous les cas (Y=0, Y=1, Y=2, Y=3) et de trouver la probabilité associée à chaque cas. Finalement, quelle est la probabilité de se retrouver avec 0, 1, 2 ou 3 guenons dans la cage 1.
Les réponses nous ont été fournies par le professeur :
p(0) = 1/20
p(1) = 9/20
p(2) = 9/20
p(3) = 1/20.
J'avoue que c'est surtout la méthode de calcul qui me manque :)

Ce sont ces 4 probabilités qui me donneront un vecteur que je pourrai multiplier par la matrice trouvée en question b).
Si je ne dis pas de bêtises, un vecteur que multiplie une matrice égale une matrice ? Enfin j'espère lol

[Ben314]

En ce qui concerne le c), j'avais parfaitement compris que le vecteur que tu cherche est celui des différentes probabilités pour Y.
Ma réponse est la même que dans le premier post : ce vecteur est
(1/4,1/4,1/4,1/4) ou bien (1/8,3/8,3/8,1/4) selon la façon dont on interprète l'énoncé... je ne peut absolument rien dire de plus (je pencherais plutôt pour la deuxième interprétation car... c'est mathématiquement plus rigolo....)

Pour les matrices/vecteurs,
on peut faire un vecteur ligne fois une matrice carré => le resultat est un vecteur ligne OU BIEN (plus fréquent) une matrice carré fois un vecteur colonne => le résultat est un vecteur colonne.

P.S. en regardant les résultats du professeur, on devrait (ce n'est pas sûr) trouver de quelle façon il a interprété l'énoncé.... : pour lui, il semblerait qu'il y ait 20 répartition possible et, avec ça, il faut en déduire ce que LUI appelle une répartition.

[Ben314]

Pour arriver à 20 répartitions, c'est qu'il a pris le cas 2) dont je parle au dessus.
Le 8 que j'obtenais est une erreur de ma part : le nombre de répartitions serait 8 si on ne regardait par exemple que les numéros des femelles de chaque cage.

Donc une répartition = façon de choisir 3 animaux parmis les 6 pour les mettre dans la cage 1.
Donc nb de répartitions = 6*5*4/1*2*3 = 20 (coefficients binomiaux)
Sur les 20, une seule avec 3 guenons dans la cage 1 et une seule avec 3 singes => P(Y=0)=P(Y=3)=1/20
nombre de facon d'avoir une guenon et deux singes : 3 poss. pour la guenon et 3*2/1*2=3 pour les deux singes donc 3*3=9 au total
P(Y=1)=9/20. idem pour P(Y=2)

[xenkheul]

Génial voilà c'est ce qui me manquait.
Pour arriver aux 20 façons de répartir les 6 animaux dans 3 cages, j'étais en train de tout faire sur un papier en formalisant chaque possibilité (Mâle 1, Mâle 2, Femelle 1 - Mâle 1, Mâle 2, Femelle 2 etc).

Mes souvenirs de probabilités se font vieux :)

Merci beaucoup !

[Ben314]

Si tu veut mon avis, quand les nombres ne sont pas trop grand, faire une liste de tout les cas possible est trés... rassurant, donc pas du tout aussi con que ça, ca permet de voir que la "thérie" donne bien la même chose que la "pratique" (mais en plus court)...