Récurrence

par **cykrouille** » 28 Oct 2009, 09:55

Bonjour, j'ai un DL a faire pour la rentrée. Il est composé de 3 exercices et je bloque sur le premier. Voici l'énoncé :

On pose, pour tout n>1 :

Un = 1/n² + 1/(n+1)² + ...+ 1/(n+k)² + ... + 1/(n+n)²

1. Montrer que si 0< k< n, 1/(n+n)² < 1/(n+k)² < 1/n²

2. En déduire un encadrement de Un

3. Quelle est la limite de cette suite ?

1. On nous a appris une méthode pour le raisonnement par récurrence, seulement je n'arrive pas à l'appliquer ici. Il faut faire :

Initialisation
Hypothèse de récurrence
Conclusion

J'ai réussi à faire l'HR (hypothèse de récurrence) :

Supposons que la propriété est vrai au rang n. Démontrons qu'elle l'est au rang n+1 :
0 < k < n
n < k+n < n+n
n² < (k+n)² < (n+n)² changement de signe pour 1/x
1/(n+n)² < 1/(k+n)² < 1/n²

je suis bloquée ici, je n'ai jamais fait d'exercice avec deux inégalités données dans l'énoncé. Pouvez-vous me guider ? suis-je sur la bonne piste ?

D'avance merci

par **maturin** » 28 Oct 2009, 10:01

pas besoin de récurrence dans cet exercice.

Tu as fais la démonstration de la première question en plus:

0 < k < n
n < k+n < n+n
n² < (k+n)² < (n+n)² changement de signe pour 1/x
1/(n+n)² < 1/(k+n)² < 1/n²

par **cykrouille** » 28 Oct 2009, 10:07

Ah merci !

2. Pour l'encadrement, faut-il que je trace la suite sur ma calculatrice ?
La seule chose que j'ai déduis de ma première réponse est que 0 < Un

par **cykrouille** » 28 Oct 2009, 10:21

quelqu'un peut m'aider s'il vous plait ?

par **maturin** » 28 Oct 2009, 10:36

ben tu sais que chaque membre de ta suite est de la forme 1/(n+k)²
donc chaque membre peut être encadré par ton inégalité trouvée en question 1.

Combien as-tu de membres dans ta somme ?
si
met
malors 2mdonc tu peux "additionner" tes encadrements

par **cykrouille** » 28 Oct 2009, 10:45

Donc 1/(n+n)² < Un < 1/n² ?

Mais pourquoi utiliser m et M ?

par **cykrouille** » 28 Oct 2009, 11:03

est ce que quelqu'un peut m'expliquer ?

par **cykrouille** » 28 Oct 2009, 11:57

Maturin, pouvez-vous m'aider ?

par **maturin** » 28 Oct 2009, 12:23

non
m représente 1/(n+n)² ton minorant qui ne dépend pas de k
M représente 1/n² ton majorant qui ne dépend pas de k

Tu as montré que tous les termes de ta somme sont inférieurs à M et supérieurs à m quel que soit k

Si tu appelles Tk=1/(n+k)²

Un = 1/n² + 1/(n+1)² + ...+ 1/(n+k)² + ... + 1/(n+n)²
Un=T0+T1+...+Tk+...+Tn

tu as montré en 1 que:
mm...
m...
m
Si tu sommes ces inégalités tu vas obtenir:
m+m+...+m+....m
Il te reste à compter le nombre de m...

Sinon pas besoin de poster des relances sur ton post toutes les heures, je passe vérifier de temps en temps si les sujets que je traite avancent mais je ne suis pas tout le temps derrière l'écran.

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