Loi normale

par **alexsandro** » 26 Fév 2006, 16:23

J'ai un sérieux problème concernant un exercice de statistique. Je n'y comprend pas grand chose et je souhaiterai, si possible, trouver de l'aide. Je vous en remercie d'avance.

Voila l'exercice :

100 personnes font la queue devant une caisse d'Assurance Maladies pour percevoir leur remboursement. La somme Xi payée à la i-ème personne est supposée aléatoire et régie par la loi Normale de paramètres m=40 et sigma = 8, pour tout i = 1,2,...,100. Ces variables Xi sont supposées indépendantes.

A) 1- Quelle est la probabilité d'une personne, prise au hasard, perçoive entre 25 et 50 ?
2- Soit S la somme totale perçue par les 100 personnes. S est aléatoire et égale à la somme Xi. Quell est la loi de probabilité de S ? Justifier votre réponse.
3- La caisse dispose de 3000. Quelle est la probabilité que cette somme suffise pour rembourser les 100 persones ?

B) On suppose dans cette partie que le nombre Y de personnes qui se présentent au guichet de la Caisse, pendant une période d'une heure, est assimilé à une variable aléatoire indépendantes de la somme X perçue par personne et supposé obéir à la loi de Poisson P(m=10).

1- Ecrire en fonction de X et Y, le montant aléatoire de remboursement R effectué par la caisse dans l'intervalle d'une heure.
2 X est supposée obéir à la loi normale mentionnée ci-dessus. Calculer l'espérence mathématiques et la variance de R.
3- Les personnes se présentent au guchet indépendamment les unes des autres. La durée T, exprimée en heures, séparant deux arrivées successives est aléatoire et obéit à une loi exponentielle E(lambda).
a) Donner en fonction de lambda, l'expression de la fonction de densité f(t) et de l'espérance mathématique de T.
b) Quelle est la valeur de lambda ? Interpréter ce résultat.

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Pour ma part, je n'est juste réussi à le commencer :

A) 1- P(25 < X< 50) = 0,864

2- La loi de proba de S est la loi Normal avec m = 4000 (40*100) et $\sigma$ = 80 (somme des variances à la puissance 1/2, soit 6400^(1/2))

par **kaya** » 26 Fév 2006, 17:13

on a S suit une loi normale N(4000,80) et ici on parle de somme délivrée (3000) aux 100 pesonnes, cela correspond à p[S<3000] donc

et tu as le résultat

par **alexsandro** » 26 Fév 2006, 18:29

Merci Kaya pour ton aide,
Est-ce-que par hasard, t'aurai une idée pour la question 2 et 3 du B, stp. Merci d'avance

par **kaya** » 27 Fév 2006, 15:37

les questions suivantes dépendent à 100% des précédentes, si tu as la densité de proba de R soit

(en fait moi je ne l'ai pas cherché...donc juste une petite idée... :id: ) alors pour l'espérence math tu fais

et pour la variance tu fais

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